$\iint_D \cos \left( \frac{x-y}{x+y} \right)\,dA$

Question

Estoy estudiando para un examen de cálculo y no podía resolver el siguiente ejercicio:

Calcular $\iint_D \cos \left( \frac{x-y}{x+y} \right)\,dA$ $D$ Dónde está la región del plano $xy$ limitado por $x+y=1$, $x=0$ y $y=0$.

Después de un poco de pensar que tengo lo siguiente:

$$ \int_0^1\int_0^{1-y}\cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right)\,dx\,dy $$

No tengo ni idea de cómo solucionarlo. Wolfram Alpha no podía resolverlo también.

Answer 1

Poner $u=(x+y)/2$$v=(x-y)/2$. Inversión, $x=u+v,\ y=u-v$.

Luego de la frontera $x+y=1$ hace $u=1/2$, mientras que $x=0$ hace $v=-u$ $y=0$ hace $v=u$. No será un factor de 2 o 1/2 (se los dejo a usted para buscar) debido a que el jacobiano de la transformación, pero la nueva configuración de la integral iterada como $$\int_0^{1/2} \int_{-u}^u cos(v/u)\ dv\ du$$ becomes doable and if i did it right comes out $\el pecado(1)/4$.

El tema de la verificación es el cambio de variables en una integral doble, busque el "jacobina" de la transformación. Aquí el jacobiano es sin duda una constante, ya sea de 2 o 1/2, simplemente me olvidé que uno de multiplicar la transformada integral. Sin embargo, creo que este es el camino necesario para obtener la integral.

AÑADIDO: acabo integrado su forma numéricamente en arce, y la comparación de las cosas que se encuentran está de acuerdo con el valor de $\sin(1)/2$. Por lo que parece la integral jacobiana factor multiplicador es 2, en lugar de 1/2. Esto tiene sentido ya que el área de la nueva triángulo iterado es sólo la mitad de la original de la integración de triángulo.

Answer 2

Por eso, he hecho lo siguiente:

$$ \iint_D \cos \left( \frac{x-y}{x+y} \right) \, dA, \,\,\,\, D: \{x+y=1, \, x=0, \, y=0\} $$

Sustitución: $$ \alpha = x-y \, por tanto, x = \frac{\alpha+\beta}{2} \\ \beta = x+y \, por tanto, y = \frac{\beta\alpha}{2} \\ J = \begin{vmatrix}\alpha_x & \alpha_y\\\beta_x & \beta_y\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 2 \\ $$ Por eso, $x+y=1$ se convierte en $\beta = 1$, $x = 0$ vuelve $\alpha = -\beta$ $y = 0$ hace $\alpha=\beta$. Vamos a configuración de la integral: $$ \int_0^1 \int_{-\beta}^\beta \cos \left( \frac{\alpha}{\beta} \right) J \, d\alpha \, d\beta \\ = 2 \int_0^1 \int_{-\beta}^\beta \cos \left( \frac{\alpha}{\beta} \right) \, d\alpha \, d\beta $$

La sustitución de variables: $$ u = \frac{\alpha}{\beta} \\ du = \frac{d\alpha}{\beta} $$

La integral se convierte en: $$ 2 \int_0^1 \int_{-1}^1 \cos u \, \beta \, du \, d\beta $$

Resolución de problemas: $$ \begin{align*} 2 \int_0^1 \int_{-1}^1 \cos u \; \beta \; du \; d\beta & = 2 \int_0^1 \left[ \sin u \, \beta \right]_{-1}^1 \, d\beta \\ &= 2 \int_0^1 2\beta\sin 1 \, d\beta \\ &= 2 \left[2 \sin 1 \frac{\beta^2}{2} \right]_0^1 \\ &= 2 \sin 1 \end{align*} $$