En geometría algebraica, ¿por qué usamos $\mathbb C$ en lugar de la clausura algebraica de $\mathbb Q$? ¿Qué propiedades de variedades algebraicas usan la integridad topológica de nuestro campo? Estaría interesado en escuchar perspectivas generales o resultados específicos que pueden fallar para $\bar{\mathbb Q}$.
Respuestas
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QuentinUK
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Una de las razones es que para casi todos los fines prácticos, no hay diferencia. Según el Principio de Lefschetz (que es un teorema), todos los campos de cuerpo algebraicamente cerrados de característica $0$ nacen iguales. Pero $\mathbf C$ es más igual que otros, ya que tiene una topología muy rica que es muy útil.
Alin Vasile
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En contraste con la respuesta anterior (que es una buena pauta general), el hecho de que $\bar{\mathbb Q}$ es contable a veces puede causar problemas. Por ejemplo, el Noether-teorema de Lefschetz dice que un general de la hipersuperficie $X$ grado $d \geq 4$$\mathbb P^3$, el grupo de Picard es generado por $\mathcal O_X(1)$. Aquí "muy general" significa que esto funciona para todos los hypersurfaces de algún contables de la unión de una adecuada subvariedades del espacio de parámetros de grado $d$ hypersurfaces.
Más de $\mathbb C$ (o cualquier innumerables campo), esto es genial-una contables de la unión tiene una medida de $0$, por lo que no hay duda de que existe una hipersuperficie $X$ con los reclamos de propiedad. Más de $\bar{\mathbb Q}$, ¿quién sabe? A priori nuestra contables de la unión podría excluir a cada punto del espacio de parámetros, por lo que no podemos concluir que no existe ni una sola superficie.
Tal vez para el Noether-teorema de Lefschetz la respuesta es conocido (no tengo idea), pero "muy general" de las condiciones de cultivo bastante a menudo, y es cierto que hay casos donde no se sabe si hay una expresión algebraica o no.
