¿Cómo se leen las fórmulas matemáticas?

Question

Vengo de un fondo de programadores, tratando de aprender más sobre la física. Inmediatamente, me encontré con las matemáticas, pero desgraciadamente no pude leerlas.

¿Existe una buena guía para leer la notación matemática? Conozco símbolos como exponentes, raíces cuadradas, factoriales, pero me confunden fácilmente cosas como la sub-notación. Por ejemplo, no tengo ni idea de qué es esto:

f _n

Puedo expresar fácilmente los valores utilizando la notación programática, es decir, el pseudocódigo:

milesPerHour = 60
distanceInFeet = 100
feetPerMillisecond = ((milesPerHour * 5280) / (1e3 * 60 * 60))
durationInMilliseconds = 100 / feetPerMillisecond

Sin embargo, no tengo ni idea de por dónde empezar cuando intento expresar la misma lógica en notación matemática.

¿Cómo puedo mejorar mi capacidad de leer e interpretar fórmulas matemáticas en notación?

Answer 1

El problema es que no se puede aprender la notación matemática como si fuera un lenguaje de programación con una sintaxis única, bien definida y fija en la que determinadas construcciones gramaticales tienen siempre el mismo significado. Es mucho más parecido a un lenguaje natural: una colección de reglas y convenciones, algunas inviolables, otras no tanto, con muchos modismos, algunos de los cuales son incompatibles entre sí, y mucha variación entre "dialectos" (es decir, convenciones dentro de varios campos). Por eso los consejos de las otras respuestas: No hay un manual de referencia ni una especificación formal. Sólo hay que seguir leyendo y escribiendo el lenguaje y dejarse absorber por la práctica. Permíteme poner algunos ejemplos para convencerte.

Usted pregunta qué $f_n$ significa desprovisto de contexto. Bueno, a veces es el $n$ función en una secuencia de funciones $f_1,f_2,\ldots$ . A veces es el $n$ a entrada de un $m$ -vector de dimensiones $\mathbf f=(f_1,f_2,\ldots,f_m)$ . A veces es el n nes de un componente de f orce, a diferencia de la t componente angencial que podría llamarse $f_t$ .

Se podría pensar que al menos $f^n$ siempre será $f$ a la $n$ de la potencia, pero eso tampoco es siempre cierto. A veces ponemos un índice en la parte superior porque ya estamos usando índices en la parte inferior para significar otra cosa - así $f_i^n$ puede ser el valor en el $i$ celda de la cuadrícula en el momento $n$ . Por lo general, $\sin^nx$ significa $(\sin x)^n$ pero normalmente $\log^n x$ significa $\underbrace{\log\log\cdots\log}_{\text{$ n $ times}}\, x$ .

¿A qué se debe esta situación aparentemente miserable? Porque la notación matemática es en realidad un método extremadamente eficaz para comunicar ideas entre personas La gente, con un poco de práctica, es bastante experta en determinar con gran precisión el significado de las señales informales, ad hoc, poco específicas y potencialmente ambiguas. Cuando hacemos matemáticas, no nos preocupamos por adaptar nuestros pensamientos a la sintaxis rígida de nuestro lenguaje, como hacemos cuando programamos. En su lugar, moldeamos libremente la sintaxis para que se adapte a nuestros pensamientos. Si eso significa que es imposible leer las matemáticas sin saber lo que significan, que así sea; lo único que hace falta es que sean fáciles de analizar por el lector al que van dirigidas, que suele ser un ser humano con conocimientos matemáticos. Y dicho lector seguramente sabe que el contexto en el que $f_n$ aparece es sobre, digamos, secuencias de funciones, en cuyo caso $f_n$ es casi seguro que el $n$ de la secuencia.

Véase también la cuarta sección ("Sintaxis matemática") del ensayo de Jeremy Kun " Por qué no existe una Guía del autoestopista matemático para programadores ".

(Re. Comentario de CBenni : Supongamos que alguien pregunta "¿Cuál es el significado de f[n] en la programación". Si estás programando en la familia C, significa que el n elemento de la matriz f . Si estás programando en Haskell o ML, significa que la función f aplicado a la lista [n] cuyo único elemento es n . Si estás programando en Mathematica, significa que la función f aplicado a n . El significado de $f_n$ en matemáticas es similar).

Answer 2

Estoy de acuerdo con Gustavo. No hay una visión mágica que pueda darte. Al estar expuesto a las matemáticas y entender los conceptos, entiendes la simbología. ¿simbolismo? lo que sea. Aprende matemáticas, eso es todo lo que puedo decirte. Es como cualquier idioma. Leemos las matemáticas permitiendo que los símbolos conjuren conceptos. Cada símbolo representa un concepto. Y a través de la comprensión conceptual el vocabulario tiene sentido, como cualquier palabra en inglés. Al igual que muchos estudiantes de idiomas, los estudiantes de matemáticas cometen una falacia similar... la creencia de que hay que "traducir" al inglés. Se pierde mucho cuando se hace eso. Es mejor pensar en términos del idioma y no traducir al idioma con el que estás más familiarizado.

Los programadores son especialmente malos en matemáticas. Los programadores piensan de forma muy lineal. Es un proceso para ellos. Mientras que una expresión matemática es un concepto completo y no puede escribirse necesariamente en una línea de código. Los codificadores también se basan en gran medida en los valores numéricos y se redondean y dan lugar a errores compuestos; en lugar del matemático que manipula símbolos abstractos para obtener resultados exactos.

Answer 3

Supongo que la respuesta más natural a "¿Cómo puedo mejorar mi capacidad de leer e interpretar fórmulas matemáticas en notación?" es: mediante la práctica. Si estás intentando leer física, probablemente estés familiarizado con el Cálculo. Te aconsejaría entonces que hicieras un curso de Análisis Real, sólo para acostumbrarte a estas notaciones, a la lógica matemática y por diversión :)

Answer 4

Al provenir de un entorno de programación, la notación matemática puede ser problemática, especialmente cuando se trata de la indexación y los conjuntos en general.

Considere el grupo $G$ generado por dos elementos $x$ y $y$ donde $x^2=y^2=1$ .

Se trata de un grupo infinito, pero puede que no te hayas dado cuenta con sólo mirarlo. En otras palabras, puedes utilizar generadores para describir grupos de forma sencilla, pero no puedes basarte en un conjunto finito de generadores para hacer un grupo finito.

La teoría de los números está plagada de ejemplos de sumas y productos engañosamente indexados; consideremos las convoluciones, que requieren sumar sobre todos los divisores de $n$ . Ahora bien, este es un concepto sencillo de explicar, pero intente poner esto en una forma cerrada (indexada por algún $i$ ). Verá que necesita más de una suma (anidada for bucles). Del mismo modo, tomando productos sobre todos los $p$ primo es fácil de explicar, pero programarlo requiere saber qué $p$ son realmente primos.

Por último, algunas notaciones matemáticas son simplemente horribles. Me viene a la mente el símbolo de Legendre, aunque tengo que admitir que no tengo una sugerencia mejor.

Mi mejor consejo es que adoptes la mayor cantidad posible de convenciones matemáticas: los libros de matemáticas tienden a utilizar ciertas letras y símbolos para describir cosas similares ( $\phi$ se favorece en el álgebra de introducción para los homomorfismos, así que cuando lo veas fuera de contexto, piensa en "homomorfismo"). Además, recuerda que cuando se trata de conjuntos que no se dan explícitamente, pueden ocurrir cosas extrañas - el conjunto podría estar vacío, el conjunto podría ser infinito, y de hecho el conjunto podría ser incontablemente infinito - piensa en escribir un programa que imprima "todos los números reales de 0 a 1".

Answer 5

Hay muchas respuestas aceptables aquí sobre que las fórmulas matemáticas no suelen ser gramáticas libres de contexto que gusten a los compiladores.

Algunos consejos más... no estoy seguro de cuál es tu formación en CS:

• Tal vez desee consultar El diagrama de Venn de las gramáticas de Chomsky para ver cómo se pueden interpretar los distintos tipos de lenguas.
• si eres una persona de CS tratando de hacer un modelo mental de la sintaxis de las fórmulas, podrías leer un artículo y pensar en escribir una gramática o incluso regex para reconocer términos únicos sólo para ese papel .
• entonces, como la gente aquí ha recomendado, si usted hace lo mismo para un montón de papeles, entonces usted comenzará a ver que cada papel tiene su propia especie de pequeña gramática.

Las gramáticas matemáticas también se adentran en cosas interesantes como las máquinas de Turing y Teorema de Incompletitud de Godel . En ellas se abordan cuestiones como "¿Sólo porque pueda escribir algo de forma coherente, significa que es computable/contestable?".

Muchas de las respuestas aquí creo que aluden a esta parte de las matemáticas... por ejemplo los números imaginarios existen porque no eran computables en algún sentido, pero no eran computables de forma interesante que describieran relaciones significativas. Algunos de los otros ejemplos que la gente ha dado más arriba con conceptos infinitos son más o menos similares, no hay una forma de representar algunos de estos conceptos que sea excluyente de todos los demás métodos. La única manera de expresar estas ideas es con un tren de pensamiento y una serie de expresiones de fórmulas, que describen qué relaciones son relevantes en el contexto de cada uno.

Con todo el respeto a este tipo de cosas, creo que la mejor respuesta es que es posible que los matemáticos expresen cosas en gramáticas más formales. Simplemente no son tan populares porque los matemáticos son estereotipados como personas externamente perezosas a las que les gusta pasar más tiempo pensando, leyendo y escribiendo que desarrollando (o adhiriéndose a) estructuras externas explícitas.

Si conoces a matemáticos famosos, como Hilbert o Erdos, a menudo plantean problemas sobre los que quieren pasearse y pensar, a veces incluso planteados como "aquí hay un tipo que se pasea pensando en cómo hacer X" :).

La psicología de las personas que se sienten atraídas por esto no es siempre la de alguien que necesitaría averiguar cómo crear/mantener un millón de líneas de código para interpretar, incluso si la gramática pudiera hacerse súper sencilla. Hay un montón de problemas matemáticos famosos que comienzan con la suposición de que podrían ser gramáticas perfectas (o que no podrían serlo) y luego trabajan a través de las implicaciones de esas cosas.

No quiero sobre-estereotipar... muchos profesionales de las matemáticas modernas son muy buenos en la codificación y muchos incluyen el código en sus documentos para ayudar a otros a utilizar o construir sobre su trabajo. También, obviamente, hoy en día es común tener y utilizar intérpretes simbólicos que permiten expresar, manipular y resolver expresiones infinitas. Tal vez algún día una o varias de estas sintaxis se vuelvan tan elegantes que la gente pueda escribirla o pensarla y haya muy poca diferencia. Creo que es más exacto lo que la gente dice aquí... incluso hoy en día la convención es que si quieres escribir un artículo que sea citado por mucha gente, todavía tienes que leer muchos artículos. Es quizás un poco de la vieja escuela pero ese es el club y el precio de la membresía. Al menos hasta que alguien lo cambie.

Hace 2 siglos no teníamos Prueba de teoremas automatizada como disciplina de las matemáticas. El ATP existe desde hace tiempo, pero mi impresión es que se considera más una herramienta que algo fundamental que todo el mundo debería utilizar.

Creo que el mejor consejo que puedo dar para interpretar las fórmulas matemáticas es:

1. leer una guía de estilo de escritura matemática (creo que Purdue solía tener uno en un pdf público, no lo encuentro ahora). esto puede ayudar a apreciar algunos formatos básicos y lo que hace que un documento sea claro o poco claro y cómo la fórmula y el texto fluyen juntos en un buen documento. muchos documentos no siguen estas cosas completamente por varias razones, pero puede ayudar a añadir la comprensión en los márgenes.
2. Al igual que para cualquier cosa que aprendas, trata de mirar varios documentos/artículos/libros que describan la misma cosa, y escoge el que sea más claro para ti.
3. a veces, los trabajos realmente antiguos que se citan con frecuencia (cientos o miles) son los más claros y breves y los trabajos más especializados/modernos que se basan en ellos tienen mucho más "estilo"
4. si encuentra lo que un determinado documento que citan que tiene la mayoría de las citas, que a menudo puede ayudar mucho.
5. Mientras lees, recuerda que la sintaxis matemática no está pensada para el cálculo, sino para la comprensión de las relaciones.
6. también recuerda que todas las relaciones son (o deberían ser) descritas como diferencias entre los símbolos de la fórmula. Esto suele requerir comprender algo más que las fórmulas.
7. Así que asegúrese de entender el resumen y de relacionar los conceptos principales del resumen con los símbolos y expresiones más frecuentes del documento.
8. Asimismo, los símbolos específicos y el estilo que se emplean con frecuencia en un documento suelen seguir (o ser bastante similares) a los términos utilizados por el material fuente que citan después del resumen.
9. si algo no está claro, si se leen los documentos de entrada (en cuyo trabajo se basan) puede ser útil.

Dicho esto, me sigue sorprendiendo la cantidad de documentos que leo en los que ni siquiera se definen todos los símbolos que se utilizan, pero, como se ha señalado, son humanos los que escriben este material y a veces se dirigen a nichos de público bastante reducidos en los que hay otras preocupaciones.

esta es mi experiencia y mi punto de vista, espero que sea de ayuda.