Geometría del Pentágono

Question

$ABCDG$ es un pentágono, que $\overline{AB} \parallel \overline{GD}$$\overline{AB}=2\overline{GD}$. También, $\overline{AG} \parallel \overline{BC}$$\overline{AG}=3\overline{BC}$.

Tenemos que encontrar la relación de áreas de $\triangle BEC$$\triangle DFG$.

Utilizando el vector de álgebra, yo de alguna manera era capaz de calcular la relación. Mi cálculo sugiere que la proporción es $\dfrac{6}{21}$. No estoy seguro de esto, sin embargo.

¿Cómo podemos encontrar esta relación, sin recurrir al uso de la vectoriales álgebra? Yo no soy capaz de averiguar la construcción adecuada necesaria para resolver este problema.

Por favor, ayúdenme.

Gracias.

Answer 1

Deje $H$ completa paralelogramo $\square ABHG$. También, vamos a $J$ $K$ "de tamaño doble" paralelogramo $\square ABKJ$, como se muestra; tenga en cuenta que la diagonal $BJ$ contiene segmento de $BE$.

Desde $GD\parallel AB$,$\triangle GDF \sim BAF$. (Por qué?) Desde $|GD|= \frac12|AB|$,$|DF| = \frac12|FA| = \frac13|DA|$; por lo tanto, el área de $\triangle GDF$ (con "base" $DF$) es un tercio del área de $\triangle GDA$ (con "base" $DA$). Por otra parte, cuatro copias de $\triangle GDA$ rellenar $\square ABHG$. (Por qué?) Por lo tanto: $$|\triangle GDF| = \frac13|\triangle GDA|=\frac13\cdot\frac14|\square ABHG|$$

Asimismo, a partir de $BC\parallel AJ$$|BC| = \frac16|AJ|$, y desde seis copias de $\triangle BCA$ rellenar $\square ABHG$, tenemos $$|\triangle BCE| = \frac1{6+1}|\triangle BCA| = \frac17\cdot\frac16|\square ABHG|$$

Por lo tanto, $$\frac{|\triangle BCE|}{|\triangle GDF|} = \frac{1/42}{1/12} = \frac{12}{42} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$$

Answer 2

Si aceptas sin prueba de que los datos determinan este cociente únicamente podemos establecer la figura de tal manera que las áreas de dos triángulos se pueden calcular fácilmente.

Elegir $$A=(0,0), \quad B=(2,0),\quad C=(2,1),\quad D=(1,3),\quad G=(0,3)\ .$ $ que se intersecan las diagonales usando geometría analítica entonces da %#% $ de #% las áreas de dos triángulos se pueden ahora inmediatamente leer: %#% $ de #% la relación requiere por lo tanto viene a $$E=\left({12\over7},{6\over7}\right), \quad F=\left({2\over3},2\right)\ .$, como han descubierto usando álgebra de vectores.

Answer 3

Si no recuerdo mal, cualquier transformación afín, se conserva la relación de distancias y áreas. Si es así, usted puede re-establecer su problema en una fácil configuración, donde$GD=BC=1$$AB\perp AG$, como en la imagen de abajo (lo siento por el desordenado el boceto). Usted necesita encontrar las áreas de los dos triángulos en esta configuración, que supongo que es más fácil. Entonces todo lo que necesita es una afinidad para obtener el "simple" del pentágono a la general de su elección.

Answer 4

Varias observaciones:

• $AG$ es paralelo a $BC$.
• $AB$ es paralelo a $DG$.

Esto significa que la extensión de $BC$ $DG$ nos da un rectángulo $AGXB$. (Dejamos $X$ ser el punto donde $BC$ $DG$ reunirse, cuando lo suficientemente extendido.) Esta es la clave de la observación.

Esto nos dice que la línea de $BG$ divide el rectángulo en la igualdad del área de triángulos. El triángulo inferior es $BXG$.

Se desprende de los cuadrados de extensión que la línea de $DG$ tiene de longitud la mitad de la línea de $XG$.

En consecuencia, la línea de $BD$ biseca $BXG$ en dos de igual área de los triángulos: $BDG$$BDX$.

Hay un punto en la línea $AC$ que se cruza con $BG$. Es lo que llamamos punto de $Y$. Tenga en cuenta que debido a la interseccion, el área de $BEC$ es sólo la mitad del área de $BYC$.

Ahora nos preguntamos cuál es la relación entre triángulos $BYC$ $DFG$ es. A continuación, vamos solo hay que dividir por dos para encontrar el resultado deseado.

Estoy actualmente no está en una posición para completar esta respuesta, y la forma de hacerlo es calcular el área de los triángulos $ABC$$ADG$, y de aquellos encontrar $BYC$ $DFG$ restando $AYB$$AFG$. Usar el Teorema de Pitágoras o Trigonométricas reglas puede ser necesario.

Voy a completar esta dentro de las 48 horas a partir de ahora. (O si alguien quiere entrar y editar, por favor, hacerlo).