¿Por qué factoring eliminar un agujero en el límite?

Question

$$\lim _{x\rightarrow 5}\frac{x^2-25}{x-5} = \lim_{x\rightarrow 5} (x+5)$$

Entiendo que para evaluar un límite que tiene un cero ("agujero") en el denominador tenemos al factor y cancelar los términos, y que el límite original es igual a la nueva y simplificada límite. Entiendo cómo realizar este procedimiento, pero me gustaría saber por qué funciona esto. Solo he dicho la metodología de expansión de la $x^2-25$ into $(x-5)(x+5)$, but I don't just want to understand the methodology which my teacher tells me to "just memorize", I really want to know what's going on. I've read about factoring in abstract algebra, and about irreducible polynomials (just an example...), and I'd like to get a bigger picture of the abstract algebra in order to see why we factor the limit and why the simplified is equal to the original if it's missing the $(x-5)$, la cual ha sido cancelada. No quiero memorizar las cosas, ya me gustaría a mi entender, pero me han dicho que esto es "sólo cómo lo hacemos" y que "la práctica de memorizar el procedimiento."
Realmente quiero entender esto en álgebra abstracta términos, por favor elaborados. Muchas gracias.

Answer 1

En primer lugar, y por definición, cuando se trata de

$$\lim_{x\to x_0}f(x)$$

nos debe asumir $\,f\,$ is defined in some neighborhood of $\,x_0\,$ except , perhaps, on $\,x_0\,$ itself, and from here that in the process of taking the limit we have the right and the duty to assume $\,x\,$ approaches $\,x_0\,$ en cualquier forma posible , pero nunca es igual a ella.

Por lo tanto, y dado que en nuestro caso siempre ha $\,x\ne x_0=5\,$ durante el proceso de límite , podemos algebraicamente cancelar para todo el proceso.

$$\frac{x^2-25}{x-5}=\frac{(x+5)\color{red}{(x-5)}}{\color{red}{x-5}}=x+5\xrightarrow[x\to 5]{}10$$

El proceso anterior se muestra que la función original se comporta exactamente como la línea recta $\,y=x+5\,$ except at the point $\,x=5\,$ , donde existe "un agujero", como usted menciona.

Answer 2

Esta imagen de la mina se parece a propósito de:

En el caso de $\lim_{x\to 5} \frac{x^2-25}{x-5}$, the message here is: Away from $x=5$, the function $\frac{x^2-25}{x-5}$ is completely identical to $x+5$; thus, what we expect to find as we approach $x=5$ is the value +5$. Esta previsto el valor es lo que un límite se calcula.

El hecho de que la función original no está definida en $x=5$ es indiferente. Walley Mundo puede ser cerrado por reparaciones, cuando llegue, pero eso no significa que usted y su familia disfuncional no pasar todo un cross-country road trip anticipando toda la diversión que usted tendría allí.

Answer 3

Veamos un simple ejemplo de la primera. Considere la función $f(x) = \frac{2x}x$. This says you take some number $x$, multiply by 2, then divide by the original number $x$. Obviously the answer is always 2, right? Except that when $x$ is zero, the division is forbidden and there is no answer at all. But for every $x$ except 0, we have $\frac{2x}x = 2$. In particular, for values of $x$ close to, but not equal to 0, we have $\frac{2x}x = 2$.

La función de $\frac{x^2-25}{x-5}$ is similar, just a little more complicated. Calculating $x^2-25$ always gives you the same as $(x-5)(x+5)$. That is, if you take $x$, square it, and subtract 25, you always get the same number as if you take $x$, add 5 and subtract 5, and then multiply the two results. So we can replace $x^2-25$ with $(x+5)(x-5)$ because they always give the same number regardless of what you start with; they are two ways of getting to the same place. And then we see that $$\frac{x^2-25}{x-5} = \frac{(x+5)(x-5)}{x-5} = x+5$$

excepto que si $x-5$ happens to be zero (that is, if $x=5$) the division by zero is forbidden and we get nothing at all. But for any other $x$ the result of $\frac{x^2-25}{x-5}$ is always exactly equal to $x+5$. In particular, for values of $x$ close to, but not equal to 5, we have $\frac{x^2-25}{x-5} = x+5 $.

El límite de $$\lim_{x\to 5} \ldots$$ pide lo que sucede a alguna función al $x$ close to, but not exactly equal to 5. And while this function is undefined for $x=5$, because to calculate it you would have to divide by zero, it is perfectly well-behaved for other values of $x$, and in particular for values of $x$ close to 5. For values of $x$ close to 5 it is equal to $x+5$, and so for values of $x$ cerca de 5 es cerca de 10. Y eso es exactamente lo que el límite es el cálculo.

Answer 4

Creo que lo que me confunde es la diferencia entre la "solución de la expresión algebraica", y "encontrar el límite". Dado:

$$f_1=\frac{x^2-25}{x-5} \quad f_2 = (x+5)$$

A continuación, $f_1$ and $f_2$ are most definitely NOT the same function. This is because they have different domains: 5 is not a member of the domain of $f_1$, but it is in the domain of $f_2$.

Sin embargo, cuando se pasa de: $$\lim _{x\rightarrow 5}\frac{x^2-25}{x-5} \quad to \quad \lim _{x\rightarrow 5}\frac{(x-5)(x+5)}{x-5} \quad to \quad \lim_{x\rightarrow 5} (x+5)$$

No estamos diciendo que las expresiones dentro de los límites son iguales; tal vez, tal vez no lo son. Lo que estamos diciendo que ellos tienen el mismo límite. Totalmente diferente de la declaración.

Anteriormente, la transformación de la segunda expresión a la tercera nos permite encontrar una función diferente para que a) sabemos que el límite es el mismo, y b) sabemos cómo trivial calcular ese límite.

La gran pregunta, entonces: ¿qué transformaciones puedo hacer para que la función de $f_1$, de modo que el límite se mantiene la misma? Creo que esto es generalmente mal explicado en los cursos de introducción -- una gran cantidad de mano saludando pasando.

Obviamente, usted puede hacer cualquier manipulación algebraica que deja a $f_1$ unchanged. You can also make any manipulation that removes and/or introduces discontinuities (points for which the function does not exist), as long as the new function stays continuous for an arbitrarily small neighborhood around $a$ (except possibly at $a$ sí). Que ejemplo es un caso de dicha transformación.

Aquí estoy engañando a mí mismo, porque yo no soy la definición de la "continuidad" para usted. Lo siento; por favor utilice un intuitition de lo continuo significa ("sin agujeros, sin saltos"), hasta que se presentan con una formal.

Más transformaciones complejas que existen, pero tienen que ser justificados de forma individual. Vas a llegar a ellos con el tiempo.

Answer 5

Aquí es la idea básica: Te dan una función racional, $f\colon \Bbb R \setminus \{5\}\to \Bbb R$, la cual es continua en todas partes en su dominio.

Usted quiere encontrar el límite de la función en $.

Una manera de hacerlo es construir una extensión continua de esa función, $g\colon \Bbb R \to \Bbb R$, such that $g(x) = f(x)$ whenever $x$ is in the domain of $f$. Then $$\lim_{x\to 5}f(x) = \lim_{x\to 5} g(x) = g(5).$$

En este caso, la factorización y cancelación logra ese objetivo.