Simplifica cómo mostrar que $\frac{x^2}{x-1}$ $x + \frac{1}{x-1} +1$

Question

¿Cómo simplificar el $\frac{x^2}{(x-1)}$ $x + \frac{1}{x-1} +1$?

La segunda expresión sería mucho más fácil trabajar con, pero no puedo averiguar cómo llegar.

Gracias

Answer 1

Muy ingenioso truco: Si usted tiene que demostrar que dos expresiones son equivalentes, trabaja hacia atrás. $$\begin{align}=& x +\frac{1}{x-1} + 1 \\ \\ \\ =& \frac{x^2 - x}{x-1} +\frac{1}{x - 1} + \frac{x-1}{x-1} \\ \\ \\ =& \frac{x^2 - x + 1 + x - 1}{x - 1} \\ \\ \\ =&\frac{x^2 }{x - 1}\end{align}$$Now, escriba los pasos hacia atrás (si vas al lugar de su mamá, usted voltea hacia atrás y entonces otra vez de vuelta hacia atrás, estás en el buen camino!) y actuar como un sabelotodo.

$$\begin{align}=&\frac{x^2 }{x - 1} \\ \\ \\ =& \frac{x^2 - x}{x-1} +\frac{1}{x - 1} + \frac{x-1}{x-1} \\ \\ \\ =& x +\frac{1}{x-1} + 1 \end{align}$ $ Dee Q.E.Doodly! Este truco funciona y usted puede impresionar a sus amigos con tales pruebas elegante producidos por este truco.

Answer 2

$\textbf{Hint:}$ ¿Conoces división larga polinómica?

Una forma más sencilla de lidiar con este problema está notando todos $x\neq 1$,

$$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}.$$

No siempre resulta fácil, sin embargo. Por lo que deben aprender división larga polinómica.

Answer 3

Un general $^1$ es el método para realizar el polinomio de la división larga algoritmo de la siguiente forma u otra equivalente:

para obtener

$$ x^{2}=(x-1)(x+1)+1. $$

Dividir ambos lados por $x-1$:

$$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{x-1} &=&\frac{(x-1)(x+1)+1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{1}{x-1} \\ &=&\frac{x+1}{1}+\frac{1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}+1 \end{eqnarray*} $$

--

$^1$ El mismo método puede ser aplicado a encontrar (o mostrar) que

$$\frac{x^{4}-2x^{3}-6x^{2}+12x+15}{x^{3}+x^{2}-4x-4}=x-3+\frac{ x^{2}+4x+3}{x^{3}+x^{2}-4x-4};$$

En este caso, el polinomio de largo algoritmo de la división se corresponde con el siguiente cálculo (u otro equivalente):

Answer 4

Tenemos que x^2=(x-1+1)^2=(x-1)^2+1+2(x-1) $$ $$ y así $x\neq 1$: $$ \frac{x^2}{x-1}=\frac{(x-1)^2+1+2(x-1)} {x-1} = x-1 + \frac {1} {x-1} + 2 = x + 1 + \frac {1} {x-1}. $$

Answer 5

$$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-x+x-1+1}{x-1} = \frac{x(x-1) + (x-1)+1}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}$$