Con $$\left\Vert A \right\Vert=\max_{\mathbf{x}\ne 0}\frac{\left\Vert A\mathbf{x}\right\Vert }{\left\Vert \mathbf{x}\right\Vert }$$ and $$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix} $$ Calcular el $\Vert A \Vert$.
No es exactamente la tarea, sino un ejercicio de algunas notas sobre la aplicada álgebra lineal que estoy tratando de trabajar, aunque. Me da el siguiente consejo:
Sugerencia: tenga en cuenta que $\begin{bmatrix}1 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix} $
He usado la pista para obtener un límite superior en $\frac{\left\Vert A\mathbf{x}\right\Vert }{\left\Vert \mathbf{x}\right\Vert }$:$$\frac{\left\Vert\mathbf{x}\right\Vert }{\left\Vert \mathbf{x}\right\Vert } = \frac{\left\Vert \begin{bmatrix}1 & 2\\ 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right\Vert }{\left\Vert \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right\Vert } = \frac{\left\Vert \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right\Vert }{\left\Vert \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right\Vert } = \frac{\left(\begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right)\left\Vert \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}\right\Vert }{\left\Vert \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right\Vert } \leq \frac{\left\Vert \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}\right\Vert \left\Vert \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right\Vert \left\Vert \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}\right\Vert }{\left\Vert \begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2} \end{bmatrix}\right\Vert } = \left\Vert \begin{bmatrix}1\\ 2 \end{bmatrix}\right\Vert ^{2} = 5 $$
Creo que estoy yendo en la dirección correcta aquí, pero estoy bastante atascado con a dónde ir. Supongo que tengo que resolver $$\frac{\left\Vert A\mathbf{x}\right\Vert }{\left\Vert \mathbf{x}\right\Vert }=5$$but after some struggle, I can't figure out how to solve this equation. I tried following the through component-wise to get $$|x_1 + 2x_2|^2 + |2x_1+4x_2|^2=25[|x_1|^2+|x_2|^2]$$ pero que se parece más a lo que necesito.
¿Alguien ve a donde debo ir desde aquí?
