Estoy tratando de probar que $\lceil{x}\rceil=-\lfloor-x\rfloor$, pero tienen dificultades para probar. las definiciones son: $\lceil{x}\rceil:=m-1<x\leq m$ y $\lfloor{x}\rfloor:=n\leq x<n+1$.
¿Cómo puedo demostrar la afirmación anterior, si es necesario, mediante el uso de las definiciones? no sé cómo cambiar las desigualdades cuando niegan la $x$ ida y vuelta. Estoy agradecido por cualquier mano para ayuda
Las definiciones son un poco confusas para mí; tal vez usted quiere decir que $\lceil x \rceil = m$ cuando $m - 1 < x \le m$ y $\lfloor x \rfloor = n$ cuando $n \le x < n + 1$.
La clave es que el $a < (\le) b$ si y sólo si $-a > (\ge) -b$. Es decir, cuando multiplicas cada parte por $-1$ tienes que cambiar la dirección de las desigualdades también.
Que $n = \lfloor -x \rfloor$. Entonces $n \le -x < n + 1$ y utilizando la propiedad de conmutación de señal superior, $-n - 1 < x \le -n$. ¿Ves ahora cómo $- \lfloor -x \rfloor = -n = \lceil x \rceil$?
Satisfacer a ambas funciones $\lceil x \rceil, -\lfloor -x \rfloor$ $f(x+1)=f(x)+1$, por lo que es suficiente para comprobar lo que sucede cuando $0\le x <1$ (porque satisface a cualquier tal $f$ $f(x)=f(\{x\})+\lfloor x \rfloor$, es decir, sus valores están determinados por su comportamiento en $[0,1)$).
En $[0,1)$ ambas funciones igualan a 1, por lo tanto coinciden en todas partes.
Esto no es un sustituto para la perfección buenas respuestas ya dadas, pero si estás orientadas visualmente, una imagen puede ayudar a hacer esto muy claro. En la siguiente figura $x$ es un número real positivo, y $n=\lfloor x\rfloor$. Multiplicando por $-1$ de los pivotes de la imagen completa $180^\circ$ grados alrededor de $x=0$, algo que incluso yo, con prácticamente ningún visual de la imaginación, se puede visualizar fácilmente.
Empezar con la relación entre el $n$ y $x$: $n$ es el entero más cercano a la izquierda de $x$, así que después de la rotación $-n$ es el entero más cercano a la derecha de $-x$. En otras palabras, $-n=\lceil-x\rceil$. Gire la relación entre el $-x$ $\lceil-x\rceil=-n$ $0$ más, y, por supuesto, usted consigue el original de la relación entre el $x$ $\lfloor x\rfloor=n$ espalda, pero también estás multiplicando por $-1$ por lo que también consigue que la relación se $-\lceil-x\rceil=-(-n)=n$. En otras palabras, $-\lceil-x\rceil=\lfloor x\rfloor$.
Por supuesto, el mismo razonamiento obras, tanto visualmente y matemáticamente, al $x<0$.
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