Punto fijo de $\cos(\sin(x))$

Question

Puedo demostrar que $\cos(\sin(x))$ es una contracción en $\mathbb{R}$ y, por tanto, por el Teorema de los Mapas de Contracción, tendrá un único punto fijo. Pero, ¿cuál es el proceso para encontrar este punto fijo? Esto es en el contexto de los espacios métricos, sé que en el análisis numérico se puede hacer trivialmente con la iteración del punto fijo. ¿Hay algún método para encontrarlo analíticamente?

Answer 1

El Jacobi-Anger la expansión da una expresión para su fórmula como:

$\cos(\sin(x)) = J_0(1)+2 \sum_{n=1}^{\infty} J_{2n}(1) \cos(2nx)$ .

Dado que los "armónicos" en la suma se amortigua rápidamente hasta llegar a cero , a segundo orden la ecuación para el punto fijo puede representarse como:

$x= J_0(1) + 2[J_2(1)(\cos(2x)) + J_4(1)(\cos(4x))]$ .

Usando Wolfram Alpha para resolver esto obtengo $x\approx 0.76868..$

Answer 2

En primer lugar, está claro que el punto fijo $x$ se encuentra en $[0,1]$
$\cos{(\sin{(x)})}=x$ $\Rightarrow$
$\cos^{-1}(x) = \sin{(x)}$
Dejemos que $F(m) = \sin{(m)} -\cos^{-1}{(m)}$ $\Rightarrow$
$F'(m) = \cos{(m)} + \dfrac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}$
Entonces también puedes encontrar el punto fijo utilizando el método de Newton.
Con $x_0$ = 0
$x_{n+1} = x_n - \dfrac{F(m)}{F'(m)}$
Utilizando MATLAB encontramos con $x_0:=0$
$x_{4}$ = $0.768169156736796$
que es correcto con 15 decimales.
En cuanto a la solución analítica, no creo que haya manera.
El método de Newton resulta ser superior a la iteración funcional en este caso, porque observamos una convergencia más rápida.
Con $x_0 = 0$ ,
$x_{n+1}$ = $f(x_n)$
$x_{40} \approx 0.768169156736780$ que no es una aproximación tan exacta.

Answer 3

Como es una contracción, sólo hay que iterar. Elige un punto de partida arbitrario y sigue aplicando el operador hasta que consigas la precisión deseada.