En busca de orientación en una integral de Fourier

Question

Trabajar con una transformada de Fourier problema, me he encontrado con el siguiente integral:

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\exp\left(-a^2x^2+ibx\right)}{x^2+c^2}dx $$

donde $a$, $b$, y $c$ son coeficientes reales. Mathematica afirma que esta no tiene forma cerrada de la solución, pero sospecho (esperanza?) ese no es el caso. Por desgracia, mi experiencia en análisis complejo está limitada a algunas de pánico-estudiar hice para hacerlo a través de una teoría de campo de curso hace una década. Me he pasado el fin de semana de polvo que fuera, pero todavía estoy perplejo...

Yo sé que hay un polo en $z=ci$. Si me (a mí) la extensión obvia de la integral en el plano complejo mediante la simple sustitución de $x$$z$, incluso se puede calcular su residuo como:

$$ \frac{\exp\left(a^2c^2-bc\right)}{2ci} $$

Mi esperanza era integrar sobre un semicírculo en el sentido positivo del medio-plano, y el uso de este residuo para obtener la integral a lo largo del eje real. Sin embargo, con esta extensión, la integral sobre el semicírculo de radio R, que no parece ser de cero (o posiblemente incluso convergen) con R va hasta el infinito ... o, al menos, Jordania lema no me da ninguna razón para creer que es así, ya que el $-a^2z^2$ parte se convierte en hostil en el eje imaginario.

Yo vagamente recordar que hay una estrategia para lidiar con este tipo de problema. Específicamente quiero recordar la estrategia de no usar $zz^*$, desde explícita la dependencia en el complejo conjugado era un no-go. Para la vida de mí, sin embargo, no puedo recordar lo que la estrategia fue.

Si alguien puede (a) refrescar mi memoria sobre esta cuestión; (b) proporcionar un método de solución; o (c) explique por qué no hay forma cerrada existe una solución, que sería muy apreciada. Gracias de antemano por cualquier ayuda que se le puede ofrecer!

Answer 1

El gaussiano término que hace complejo el análisis dudoso. Esta integral se puede hacer mucho más fácilmente usando el teorema de convolución.

Para empezar, tenga en cuenta que

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \, e^{-a x^2} e^{i k x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-k^2/(4 a)}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{i k x}}{x^2+c^2} = \frac{\pi}{c} e^{-c |k|}$$

La integral buscada es la convolución de estas transformaciones. Es decir,

$$\int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{-a x^2}}{x^2+c^2} e^{i b x} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{\pi}{c} \int_{-\infty}^{\infty} dk \,e^{-k^2/(4 a)} \, e^{-c |b-k|} $$

Esta integral es muy factible, a pesar de lo que Mathematica, dice. Por el momento, me ahorraré los detalles, que implican la división de la integral acerca de la $k=b$ y reescalado a conseguir un bonito formulario. El resultado es que el buscado después de la integral es

$$\frac{\pi}{c} e^{a c^2} \left [e^{-b c} \left (1+\text{erf}\left (\frac{b-2 a c}{2 \sqrt{a}} \right ) \right ) + e^{b c} \left (1-\text{erf}\left (\frac{b+2 a c}{2 \sqrt{a}} \right ) \right )\right ] $$

donde erf es la función de error.

NOTA

Mi $a$ es el OP $a^2$ - esto no fue intencional, pero para obtener una respuesta el OP quiere, sub $a^2$ $a$ en el resultado anterior.