¿Cómo demostrar que este conjunto es cerrado?

Question

Supongamos que $Y$ a ser un conjunto ordenado de la topología del orden. Que $f, g: X \to Y$ ser continuo. ¿Cómo mostrar que el conjunto de $\{x| f(x) \leq g(x)\}$ está cerrada?

Este es un ejercicio de munkres. Tal vez tratando de demostrar que el conjunto de $f(\{x| f(x) > g(x)\})$ es abierta es suficiente. Pero no pude averiguar la conexión entre este sistema y la continuidad de las dos funciones. ¿Podría darme una pista?

Gracias.

Answer 1

El conjunto $$U = \{(y_1, y_2) \in Y \times Y \mid\, y_1 \leq y_2 \,\}$$ is closed in $Y \times Y\,$:

Supongamos $(z_1, z_2) \in Y \times Y\,$ no está en ella, por lo que el $z_1 > z_2$.

Si hay algo de $z_3 \in Y$ tal que $z_1 > z_3 > z_2$, el básico conjunto abierto $(z_3, \rightarrow) \times (\leftarrow, z_3)$ contiene $(z_1, z_2)$ y se pierde en $U$, de lo contrario $z_1$ $z_2$ son vecinos y $(z_2, \rightarrow) \times (\leftarrow, z_1)$ tiene esta propiedad. Tenga en cuenta que todos los subconjuntos utilizados en $Y$ están abiertas en el orden de la topología.

Ahora $f \times g: X \times X \rightarrow Y \times Y$ es continua (estándar en el producto de la topología) al$f$$g$, y su conjunto es exactamente

$$(f \times g)^{-1}[U]$$

y por lo tanto cerrado como la imagen inversa de un conjunto cerrado en virtud de una función continua.

Answer 2

El complemento de $\{x : f(x) \leq g(x)\}$ es $\{x : f(x) > g(x)\}$. Parte del último conjunto es $$\bigcup_{y\in Y} \{x : f(x) > y > g(x)\},$ $, que es abierta porque cada sistema es la intersección de dos conjuntos abiertos. ¿Qué le falta?