En un diagrama de Venn, ¿dónde se encuentran ubicados otros conjuntos de números?

Question

Recuerdo esta imagen que aprendí en la escuela:

He escuchado acerca de otros números (de los cuales no estoy seguro si pertenecen a un nuevo conjunto) como los cuaterniones, números p-ádicos. Entonces tengo tres preguntas:

• ¿Estos números están en un nuevo conjunto?
• En caso afirmativo, ¿dónde se encuentran estos conjuntos en el diagrama de Venn?
• ¿Existe un diagrama de Venn maestro donde pueda visualizar todos los conjuntos conocidos hasta hoy?

Nota: No estaba seguro de cómo etiquetarlo.

Answer 1

Este diagrama de Venn es bastante engañoso en realidad.

Por ejemplo, los irracionales y los racionales son disjuntos y su unión son los números reales. El diagrama hace plausible que hay números reales que no son ni racionales ni irracionales. También se podría hablar de números algebraicos, que es un subcampo de $\mathbb C$, que se encuentra con los irracionales también.

En cuanto a otros sistemas numéricos, veamos un par de los comunes:

1. Los ordinales extienden los números naturales pero evitan completamente $\mathbb{Z,Q,R,C}$ de lo contrario.
2. Los números $p$-ádicos extienden los racionales, en cierto sentido podemos pensar en ellos como un subconjunto de los números complejos, pero eso es un entendimiento profundo en teoría de campos. Incluso si los consideramos por su cuenta, hay algunos números irracionales (reales) que tienen representación $p$-ádica, pero eso depende de tu $p$.
3. Puedes extender los números complejos a los Cuaterniones (e incluso puedes extender esos un poco más).
4. Se podría hablar sobre los números hiperreales, pero esa construcción no tiene un modelo canónico, por lo que no se puede realmente señalar dónde "se ubica" porque tiene muchas caras y formas.
5. Y por último, están los números surreales. Esos números extienden los ordinales, pero también incluyen $\mathbb R$.

Ahora, nota que este diagrama no es muy... formal. Está claro que no apareció en ninguna revista matemática respetable. Es un diagrama razonable para estudiantes de secundaria, que han aprendido sobre racionales, irracionales y números complejos.

Nunca cargaría a los estudiantes de secundaria [genéricos] con conversaciones sobre esos sistemas numéricos mencionados anteriormente.

Answer 2

Estictamente hablando $\mathbb{R}$ no es un subconjunto de $\mathbb{C}$, más bien es isomorfo a un subcampo de $\mathbb{C}$. Lo mismo ocurre con $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$. Ahora $\mathbb{Z}$ también es isomorfo a un subanillo de $\mathbb{Q}$, no un subconjunto propio. Siempre que tengas dos estructuras algebraicas $A$ y $B$ con respecto a las mismas operaciones binarias, puede ser posible 'identificar' $A$ con algún subconjunto de $B$, es decir, mostrar un isomorfismo entre $A$ y un subconjunto de $B con respecto a las operaciones definidas; en este caso se puede escribir $A\subseteq B$, en algún sentido laxo.