Demostrar que $\log_{2}(7)$ es irracional

Question

Demostrar que $\log_{2}(7)$ es un número irracional.

Mi intento:

Asumir que $\log_{2}(7)$ es un número racional. Entonces podemos expresar $\log_{2}(7)$ $\frac{p}{q}$, donde $p,q\in \mathbb{Z}$ y $q\neq 0$. Esto implica que el $7^q = 2^p$, donde cualquier $p,q>0$ o $p,q<0$.

Mi pregunta es: ¿por qué no podemos contar para $p,q<0$? Autor de mi libro de texto cuenta solamente para $p,q>0$. ¿Alguien me podría explicar el razonamiento utilizado por el autor?

Answer 1

Desde $\log_2(7) > 0$, sabemos que $p$ y $q$ ambos tienen el mismo signo. Por lo tanto, ambos pueden tomarse como positivo.

Answer 2

Considerar el caso $\log_27=p/q$ donde $p, q<0$. Todavía tendrás $$ 7 ^ q = 2 ^ p $$ y por lo tanto usted tendrá $ \frac{1}{7^{-q}}=\frac{1}{2^{-p}} $ que es lo mismo que decir $$ 7 ^ {-q} = 2 ^ {-p} $ y desde $-q$ y $-p$ son positivas, estás en el caso donde ambos exponentes son positivos.

Answer 3

Diciendo lo que Neal ya ha dicho un poco diferente: primero te das cuenta de que $\log_2(7) > 0$. Entonces si $\log_2(7)$ es racional puede encontrar positivos enteros $p$ y $q$ que $$\log_2(7) = \frac{p}{q}.$ $ podría, por supuesto, también ha elegido $p$ $q$ ambos negativos, y puede sin duda escoger entonces ambos positivos. Entonces, como usted, $7^q = 2^p$. Ahora desde ambos $7$ y $2$ prime, sabes que esto nunca sucederá cuando $p$ y $q$ son positivos enteros.