¿Puede haber un grupo abeliano $G$ donde $\bigcap_{n\in\mathbb N} nG$ no es divisible?

Question

Ayer escuché una charla sobre los teoremas de MacIntyre, que implicaba una descomposición de ( $\omega$ -estable) se agrupa en una parte divisible y otra de exponente acotado. Al parecer, existe un resultado de Kaplansky según el cual todos los grupos abelianos tienen una parte divisible máxima.

Evidentemente, si $D$ es un subgrupo divisible, entonces $D=\bigcap_{n\in\mathbb N} nD\subseteq \bigcap_{n\in\mathbb N} nG$ . Bajo ciertas hipótesis (por ejemplo $\omega$ -saturación del grupo), es fácil demostrar que esta relación de subconjunto es realmente una igualdad. Me dijeron que es necesaria alguna hipótesis para garantizarlo, lo que me hizo preguntarme:

¿Existe un grupo abeliano $G$ tal que $\bigcap_{n\in\mathbb N} nG$ no es divisible?

Por lo tanto, tendría que haber un elemento $x$ que es "divisible" (en el sentido de que se puede dividir $x$ por $n$ por cada $n>0$ ya que $x\in \bigcap_{n\in\mathbb N}nG$ ), pero para dividirlo por $n$ el resultado debe ser no sea divisible (es decir, para algunos $n$ y cada $y$ , si $ny=x$ entonces $y$ no es "divisible").

¿Es posible un grupo así?

Answer 1

Definir $G$ por la presentación del grupo abeliano $\langle t, x_k\,(k>1) \mid 2t=0,\,kx_k=t\,(k>1)\rangle$ . Entonces $\cap_{n \in {\mathbb N}} \,nG = \langle t \rangle$ , un grupo de orden $2$ que no es divisible.