Si ambos $n$ y $ \sqrt{n^2+204n} $ son números enteros positivos, encontrar el valor máximo de $n$.
Me encontré con esta pregunta durante un concurso de la Olimpiada de matemáticas. Necesito ayuda para resolver la cuestión. Gracias.
Respuestas
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Que $$m^2=n^2+204n$ $ $$k^2=n^2+204n+10404=(n+102)^2$ $ entonces $$(k-m)(k+m)=2^2\cdot 3^2\cdot 17^2$ $ desde $k-m$ y $k+m$ tienen la misma paridad, deben ser incluso. Escribe:
$$\frac{k-m}2\frac{k+m}2=3^2\cdot17^2$$
Desde $k>m$ hay sólo dos opciones: $k-m=2$ y $k-m=18$. El primero da $m=2600$ y el segundo $m=280$. Por lo tanto nos interesa la primera, que da $n=2500$.
Andrew
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debe haber algunos naturales $k$s.t. $n^2 + 204n = (n+k)^2$. fácil de ver cuanto mayor sea el $k$ cuanto mayor sea el $n$ porque es equivalente a $$ (204-2k)n = k^2$$ then again there's an easy bound on $$ %k desde $$n^2 + 204n < (n+102)^2$ $ por lo tanto podemos sólo probar un par de posibilidades. Si escribes $$n^2 + 204n = (n+101)^2$$ then it won't give any solutions, since it boils down to $ 2n = 101 ^ 2 por otro lado tratar de $$n^2 +204n = (n+100)^2$$ $ gives a solution $%n = 2500$ y terminados
da Boss
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Así que para algún entero positivo $m$, debe tener $n^2+204n=m^2$. Teniendo en cuenta esto una cuadrática en $n$, necesita el discriminante $204^2+4m^2$ a ser un cuadrado perfecto incluso, decir $4a^2$. Así que tenemos $a^2-m^2=10404 \implies (a+m)(a-m)=10404 \implies a+m = 5202, a-m=2$ como queremos el mayor $m$ (para conseguir el mayor $n$). La resolución da $m=2600 \implies n = 2500$.
