Definición alternativa de un submartingale, problema con el teorema de Radon-Nikodym.

Question

Suponga que tiene una base estocástica $(\Omega, \mathcal{F},P,\mathbb{F})$ . Un submartingale suele definirse como

un proceso adaptado

para cada $t$ $E(|X_t|)<\infty$

y $E(X_t|\mathcal{F}_s)\ge X_s$ a.s.

Sin embargo, en un libro que estoy leyendo me he encontrado con otra definición, que es casi la misma, pero no requiere la integrabilidad, sino que reguiere que $E(X_t^+)< \infty$ . (El autor también añade los caminos de càdlàg como requisito, no estoy seguro de que sea relevante para mi pregunta).

Esto me crea un problema. Porque no estoy seguro de cómo construir la expectativa condicional $E(X_t|\mathcal{F}_s)$ utilizando el teorema de Radon-Nikodym. El paso más natural es construir $E(X_t^+|\mathcal{F}_s)$ y $E(X_t^-|\mathcal{F}_s)$ y definiendo $E(X_t|\mathcal{F}_s)=E(X_t^+|\mathcal{F}_s)-E(X_t^-|\mathcal{F}_s)$ .

Debido a la integrabilidad, no hay problema en utilizar el Radon-Nikodym para definir $E(X_t^+|\mathcal{F}_s)$ el problema es definir $E(X_t^-|\mathcal{F}_s)$ . El primer paso es definir una medida sobre $(\Omega,\mathcal{F_s},Q)$ tal que $Q(A) = E(X^-_t\mathcal{X}_A), A \in \mathcal{F}_s$ . Para utilizar el teorema de Radon-Nikodym necesitamos $\sigma$ - la finitud. B $E_n = \{X^-_t<n\}$ ya que $X_t^-$ son $\mathcal{F}_t$ medibles, estos conjuntos están en $\mathcal{F}_t$ Así que tenemos eso $(\Omega, \mathcal{F}_t,Q)$ es $\sigma$ -finito. Pero los conjuntos pueden no ser $\mathcal{F}_s$ -medible, así que ¿cómo conseguimos $\sigma$ -finitud en el espacio $(\Omega,\mathcal{F}_s,Q)$ ?

Actualización: A mí me pasa lo mismo con este libro: Martingalas continuas y movimiento browniano . Sin embargo, tampoco encuentro cómo construyen la expectativa condicional en este libro. Debe haber una respuesta sencilla para esto ya que se utiliza en muchos libros.

Answer 1

Para cualquier variable aleatoria no negativa $\xi$ , si $E(\xi)<\infty$ la expectativa condicional $E(\xi\mid \mathscr{G})$ está bien definido, donde $\mathscr{G}$ es un sub- $\sigma$ -Álgebra. O $E(\xi)=\infty$ consideramos, para $n\ge 1$ la variable aleatoria \begin{align*} \xi_n = \xi\, \mathbb{I}_{\xi < n}. \end{align*} Tenga en cuenta que, $\{\xi_n\}_{n=1}^{\infty}$ es no decreciente y \begin{align*} \lim_{n\rightarrow \infty}\xi_n = \xi, \end{align*} $P$ -a.s. Para cada $n$ definimos la función de conjunto $Q_n$ en el sub- $\sigma$ -Álgebra $\mathscr{G}$ definido por \begin{align*} Q_n(A) = \int_A \xi_n dP, \end{align*} para $A \in \mathscr{G}$ . Entonces $Q_n$ es una medida finita, y la derivada de Radon-Nikodym $dQ_n/dP$ existe. Es decir, la expectativa condicional $E(\xi_n \mid \mathscr{G})$ está bien definida. Además, se puede demostrar que, para $n \ge 1$ , \begin{align*} E(\xi_n \mid \mathscr{G}) \le E(\xi_{n+1} \mid \mathscr{G}), \end{align*} $P$ -a.s. Ver página 195 de este libro . A continuación, definimos \begin{align*} E(\xi\mid \mathscr{G}) = \lim_{n\rightarrow \infty}E(\xi_n \mid \mathscr{G}). \end{align*}

Para cualquier variable aleatoria $\eta$ la expectativa condicional $E(\eta\mid \mathscr{G})$ se considera definida si \begin{align*} \min\left(E(\eta^+\mid \mathscr{G}), \, E(\eta^-\mid \mathscr{G}) \right) < \infty, \end{align*} $P$ -a.s.