Probar que el conjunto de los números algebraicos es contable sin AC

Question

Un número complejo $z$ se dice es algebraico si hay un conjunto finito de enteros $\{a_i\}_{i\in n+1}$, no todos cero, tales que $a_0z^n + … + a_n = 0$.

Entonces puedo probar que el conjunto de todos los números algebraicos es contable sin AC? Sólo puedo probar esto por el supuesto 'contables de la unión de contable de conjuntos contables'. Supongo y espero que haya una manera de probar esto en ZF. Ayuda.

Answer 1

Usted no necesita de CA para probar el resultado, porque se puede definir explícitamente una enumeración de los números algebraicos dentro de ZF. Para ello, se puede comenzar con el estándar de las enumeraciones del conjunto $\bigcup_{n \in \omega} (\omega \times \mathbb{Z}^{n+1})$. Este conjunto se compone de todas las secuencias de la forma $(k, a_0, \ldots, a_n)$ donde $k \in \omega$ $(a_0, \ldots, a_n)$ es un vacío tupla de enteros. Vamos a usar esto como un punto de partida para definir una enumeración de los números algebraicos.

En primer lugar, supongamos que el $w, z$ son dos raíces de la misma distinto de cero el polinomio $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$. Decir que $w <_{p(x)} z$ si $|w| < |z|$ o de lo contrario si $|w| = |z|$$\operatorname{arg}(w) < \operatorname{arg}(z)$. Por lo $<_{p(x)}$ es un bien de pedido del conjunto finito de raíces de $p(x)$ por cada valor distinto de cero $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$, y este orden es uniformemente definibles con la tupla de coeficientes de $p(x)$ como parámetro.

Que forman una enumeración de los números algebraicos como sigue. Decir que un número finito de tupla de enteros $(k, a_0, \ldots, a_n)$ representa un número complejo $w$ si $w$ es una raíz de $p(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n$, e $p(x)$ no es idénticamente cero, y $k \in \omega$, y hay exactamente $k$ otras raíces $z$$p(x)$$z <_{p(x)} w$. La relación "$(k, a_0, \ldots, a_{n})$ es $w$" es definible en ZF, y ZF se demuestra que por cada algebraicas $z$ hay al menos una tupla que representa a $z$, y cada número complejo que se representa es algebraico. Por lo tanto, podemos enumerar los números algebraicos en el mismo orden en el que están representados por las tuplas, mediante la enumeración de las tuplas de arriba.

Por lo tanto ZF se demuestra que hay una surjection de $\omega$ para el conjunto de los números algebraicos. Debido a $\omega$ está bien ordenado, ya, ZF puede convertir esto en un bijection $f$ $\omega$ para el conjunto de los números algebraicos (es decir, $f(n)$ $n$th distintos algebraica de números que aparecen en la enumeración). Por lo tanto ZF puede probar que el conjunto de los números algebraicos es contable.