¿Por qué no el Ito integral sólo la de Riemann-Stieltjes integral?

Question

¿Por qué no el Ito integral sólo la de Riemann-Stieltjes integral?

Lo que quiero decir es, dada una función continua $f$, algunos ruta de acceso de la norma movimiento browniano $B$, y la integral:

$$\int_0^Tf(t)\;dB(t).$$

Entonces, ¿qué si no podemos aplicar el cambio de las variables de la fórmula para hacer sentido de

$$\int_0^Tf(t)B'(t)\;dt,$$

la de Riemann-Stieltjes integral nunca se requiere la diferenciabilidad de la integradora de todos modos.

Hay una razón para distinguir el Ito integral a partir de la de Riemann-Stieltjes integral por encima y más allá de la necesidad de desarrollar una teoría (Ito Cálculo) para obtener alrededor de todos los problemas causados por la falta de cambio de las variables?

Answer 1

Primero de todos, el movimiento Browniano es casi seguramente nondifferentiable lo que significa que usted no puede simplemente aplicar la regla que cite a Stieltjes integrales.

En segundo lugar, en esencia, la integral de Ito es Riemann Stieltjes integración cuando se observa la trayectoria del movimiento Browniano, pero no del todo. Usted puede pensar en él como Stieltjes la integración en donde el "integrador" como usted la llama tiene una variable adicional de la dependencia, en este caso, la probabilidad de espacio de realización Browniano caminos. Específicamente $B_t$ es una variable aleatoria. La definición es entonces esencialmente el mismo como un límite sobre las particiones. Sin embargo el movimiento Browniano no es de variación acotada por lo que no puede aplicar las definiciones usuales de Riemann Stieltjes para evaluar las integrales a lo largo de algunos se dieron cuenta de ruta. En particular, se obtiene la integral se evalúa como un límite de sumas sobre las particiones converge en probabilidad.

Answer 2

Simplemente no se puede integrar con respecto al movimiento Browniano pathwise porque no es de variación acotada (debido a que tales funciones son diferenciables en casi todas partes) y las funciones de variación acotada son precisamente aquellas respecto de las cuales se puede calcular la Riemann–Stieltjes integrales.