Integrar formulario $du / (a^2 + u^2)^{3/2}$

Question

¿Cómo se integran $du / (a^2 + u^2)^{3/2}$?

La tabla de integrales aquí: http://teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/classes/CalculusC/IntegralTablesStewart.pdf

Da como: $u / (a^2 ( a^2 + u^2)^{1/2} )$.

Me estoy poniendo de nuevo en el cálculo y muy oxidado. Me gustaría estar cómodo con algunas de las pruebas detrás de diferentes fundamental "de la Tabla de Integrales" integrales.

Mira, la sustitución de la regla parece ser el método de elección. ¿Cuál es la estrategia que aquí por la elección de una sustitución? Tiene una forma similar a muchas de las integrales trigonométricas, pero el resultado final parece sugerir que no son necesarias en este caso.

Answer 1

Un trigonométricas sustitución sí funciona.

Queremos expresar $(a^2 + u^2)^{3/2}$ como algo sin raíces cuadradas. Queremos usar alguna forma de Pitágoras identidad trigonométrica $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Multiplicando ambos lados por $\frac{a^2}{\cos^2 x}$, obtenemos $a^2 \tan^2 x + a^2 = a^2 \sec^2 x$, que es en la forma deseada. de (suma de dos cuadrados) = (algo cuadrado).

Esto sugiere que debemos de utilizar la sustitución de $u^2 = a^2 \tan^2 x$. Equivalentemente, sustituimos $u = a \tan x$$du = a \sec^2 x dx$. Entonces $$ \int \frac{du}{(a^2 + u^2)^{3/2}} = \int \frac{a \s^2 x \, dx}{(a^2 + a^2 \tan^2 x)^{3/2}}. $$ La aplicación de la identidad trigonométrica considerado anteriormente, esto se convierte en $$ \int \frac{a \s^2 x \, dx}{(a^2 \s^2 x)^{3/2}} = \int \frac{dx}{a^2 \sec x} = \frac{1}{a^2} \int \cos x \, dx, $$ que puede ser fácilmente integrado como $$ =\frac{1}{a^2} \sin x. $$ Desde que hemos creado $u = a \tan x$, le sustituya $x = \tan^{-1} (\frac ua)$ para conseguir que la respuesta es $$ =\frac{1}{a^2} \sin \bronceado^{-1} \frac{u}{a}. $$ Desde $\sin \tan^{-1} z = \frac{z}{\sqrt{z^2 + 1}}$, esto produce el resultado deseado de $$ =\frac{u/a}{a^2 \sqrt{(u/a)^2 + 1}} = \frac{u}{a^2 (a^2 + u^2)^{1/2}}. $$

Answer 2

Que $u = a \tan \theta$ y trabajar desde allí. Ver este (página sobre sustituciones trigonométricas).