$\lim_n \frac{1}{n} E(\max_{1\le j\le n} |X_j|) = 0$

Question

Si $\{X_n\}$ es una secuencia de v.a. idénticamente distribuido con media finita, entonces

$$\lim_n \frac{1}{n} E(\max_{1\le j\le n} |X_j|) = 0$$

La desigualdad

$$\frac{1}{n}E(\max_{1\le j\le n} |X_j|) \le \frac{1}{n}E(|X_1| + \cdots + |X_n|)=E(|X_1|)$$

sugiere que el resultado tiene algo que ver con los "gráficos" de la superposición de $|X_j|$ por lo que $E(|X_j|)=\int_0^\infty |X_j| P(d\omega)$ no es totalmente de contado $n$ veces en el valor de $E(\max_{1\le j\le n} |X_j|)$. Pero ¿cómo hacemos esto riguroso? Nota no hay ninguna mención de la $X_j$ independiente.

Answer 1

Para definir de un positivo $R$, $$X_j^R:=|X_j|\chi_{\{|X_j|\leqslant R\}}.$ $ recordar que %#% $ #% por lo tanto %#% $ de #% tomar el $$E[\max_{1\leqslant k\leqslant n}|Y_k]\leqslant n\max_{1\leqslant k\leqslant n}E[Y_k],$, y usando el hecho de que $$\frac 1nE\left[\max_{1\leqslant k\leqslant n}|X_k|\right]\leqslant \max_{1\leqslant k\leqslant n}E[|X_k|\chi_{\{|X_k|>R\}}]+\frac Rn=E[|X_1\chi_{\{|X_1|>R\}}|]+\frac Rn.$ es arbitrario podemos concluir.

Answer 2

Que $u(x)=P[|X_1|\geqslant x]$ y $M_n=\max\limits_{1\leqslant k\leqslant n}|X_k|$ y $[M_n\geqslant x]=\bigcup\limits_{k=1}^n[|X_k|\geqslant x]$ por lo tanto $$ n ^ {-1} E [M_n] = \int_0^ {+ \infty} u_n (\mathrm dx, $ con $$ u_n (x) x) = n ^ {-1} P [M_n\geqslant x] \leqslant u(x). $$ Ahora, $0\leqslant u_n\leqslant n^{-1}$ por lo tanto, $u_n\to0$ pointwise. Además, $u$ es integrable desde $$ \int_0^{+\infty}u (\mathrm dx x) = E [| X_1 |], $$ por lo tanto, por dominado de la convergencia, $$ \int_0^{+\infty}u_n (x) \mathrm dx\to0. $$, $$ N ^ {-1} E [M_n] \to0. $$