¿Por qué son planas morfismos "plana?"

Question

Por supuesto, "planitud" es una palabra que evoca de un modo muy particular imagen geométrica, y me parece que debe haber una razón por la que esta palabra es usada, pero nada que puedo encontrar me da una razón!

Hay algunos geométrica de la propiedad correspondiente a la "planitud" (de morfismos, módulos, lo que sea) que hace que la elección de la terminología obvio, o al menos justificables?

Answer 1

Como otros han dicho más arriba, la planitud de una familia debe significar que las fibras de la familia varían de alguna manera de forma continua. Deje que estado esta en términos de un módulo M sobre un anillo R. Aquí una fibra de M en un primer P de R es M(P), k(P)-espacio vectorial M_P/PA,_P, donde k(P) denota el cociente campo de la I/P. Si las fibras varían continuamente, debe ser posible extender una base de M(P) a cerca de las fibras, es decir, que el levantamiento de k(P)-base wrt. la canónica mapa M_P -> M(P) debe generar una base de M_P a través de Una_P, es decir, que el tallo M_P es un módulo.

Y en efecto: Si M es un finitely presentada R-módulo es plano si y sólo si M es localmente libre, es decir, que los tallos son gratis.

(Y que una idea puede llegar a ser menos geométrica en el caso de no finitely presentado módulos es algo que uno puede esperar de todos modos.)

Answer 2

Recuerdo las siguientes dos citas acerca de planitud (se me olvidó que dijo/escribió esto):

1. Para cada descripción geométrica de la llanura hay un contraejemplo.
2. El plano es una de las pocas nociones de la geometría algebraica que fueron motivados por el álgebra y no por la geometría.

Esto no responde a tu pregunta, lo sé... :)

Answer 3

La clave geométrica significado es que de plano las familias son aquellas familias donde las fibras varían "continuamente". Esta noción permite hablar acerca de los límites de las familias de variedades algebraicas, lo cual es particularmente importante en el estudio de la deformación de la teoría/módulos de problemas. Desde el significado coloquial de planitud también sugiere una cierta uniformidad o la falta de variación, uno podría imaginar que esto justifica su uso en geometría algebraica.

Por ejemplo, si tienes un piso de la familia de las variedades, como el Timo señala, la dimensión de cada fibra es el mismo. Pero es más cierto: el polinomio de Hilbert de cada fibra también es el mismo. Esto permite que la degeneración de las técnicas. Por ejemplo, usted puede tomar un plano de la degeneración de su variedad, calcular una propiedad sobre la degeneración y, a continuación, levante esta información a su variedad original.

Creo que el sentido geométrico de la planitud se entienden mejor a través de ejemplos sencillos. Consideremos, en primer lugar $\text{Spec}(k[x,y,t]/(xy-t))\to \text{Spec}(k[t])$ via the natural map. This is a flat family. You can see this geometrically, as the fiber over t is a hyperbola when $t\ne 0$, and as $t$ approaches $\text{Spec}(k[x,y,t]/(txy-t))\to \text{Spec}(k[t])$. This is not a flat family. Here, when $t\ne 0$, the fiber is always the same hyperbola {xy-1=0}. But, when $t=0$, the fiber is an entire copy of $\text{Spec}(k[x,y])$$, the hyperbola gets sharper and sharper and then it "breaks" into two lines when $t=0$.

Contraste este ejemplo con %#%#%. Esta variación patológica de las fibras es codificada por el hecho de que este no es un plano de la familia.

Answer 4

Vea la ilustración en la 4ª página de Millas Reid Licenciatura Álgebra Conmutativa (ir a Amazon, haga clic en buscar en el interior y haga clic en la flecha hacia la derecha 4 veces).

Esta ilustración muestra un módulo de $M$ that's flat over $A/{\rm ann}(M)$.

Answer 5

Mucha gente le dirá que planitud significa "variación continua de las fibras" en algún sentido, y que planitud se inventó para correspondien agradable consecuencias, lo cual es cierto. Pero hay una manera de esperar que esta (vagos) interpretación a priori de una alternativa, lo que equivale definición:

Una $A$-module $M$ is flat $\iff$ $I \otimes_A M \to IM$ is an isomorphism for every ideal $I$.

Yo preferiría presentar esto como la definición de la llanura, y presente el hecho de que tensoring con $M$ conserva exacta secuencias como un teorema. Por qué?

El pensamiento "geométricamente", $I$ just corresponds (uniquely) to a closed subscheme $Z=Z(I)=$
$=Spec(A/I)\subseteq Spec(A)$. If we think of $M$ in the usual geometric way as a module of generalized functions on $X$ (like sections of a bundle), and $M/IM \simeq M\otimes_A A/I$ as its restriction to $Z$, then the above definition of flatness can be interepreted directly to mean that $M$ restricts nicely to closed subschemes $Z$.

Más precisamente, se dice que lo que perdemos en esta restricción, el submódulo $IM$ of elements which "vanish on $Z$", is easy to understand: it's just formal linear combinations of elements $i\otimes m$, with no surprise relations among them, i.e. the tensor product $I \otimes_A M$.

En topología, funciones continuas "restringir bien" a los puntos y conjuntos cerrados (tomando límites), así que usted puede ver, sin mucha experiencia en todo, cómo esta definición corresponde en una forma intuitiva de continuidad.

Tener esta motivación en el lugar, la mejor cosa a hacer es retirar ejemplos a lo largo de las líneas de Dan Erman la respuesta para ver la analogía con la continuidad y límites en el trabajo.