Definimos el rango del módulo libre como el número de elementos de la base del módulo libre. Puede ser infinito. ¿Cómo definimos el rango del módulo proyectivo?
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Jeff
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El rango de un módulo proyectivo $M$ en $R$ es el función $\mathrm{rk} : \mathrm{Spec}(R) \to \mathrm{Card}$ , $\mathfrak{p} \mapsto \mathrm{dim}_{\mathrm{Quot}(R/\mathfrak{p})}(M \otimes_R \mathrm{Quot}(R/\mathfrak{p}))$ . Esta es la dimensión del fibra de $\tilde{M}$ en $\mathfrak{p}$ . Se puede demostrar que si $M$ está finitamente generada, entonces esta función de rango es localmente constante (sin ninguna condición de finitud esto puede fallar). De hecho, entonces $\tilde{M}$ es localmente libre de rango finito. En particular, si $\mathrm{Spec}(R)$ está conectado ( $\Leftrightarrow$ $R$ sólo tiene los idempotentes triviales $0,1$ ), esta función es constante. Entonces sólo tiene un rango $\mathrm{rk}(M)\in \mathbb{N}$ . En particular, cuando $R$ es un dominio integral, tenemos $\mathrm{rk}(M) = \mathrm{dim}_K(M \otimes_R K)$ donde $K=\mathrm{Quot}(R)$ .
