Verdadero o falso? $x^2\ne x\implies x\ne 1$

Question

Hoy he tenido una discusión con mi profesor de matemáticas en la escuela. Estábamos respondiendo a unas sencillas preguntas de Verdadero/Falso y una de las preguntas fue la siguiente:

$$x^2\ne x\implies x\ne 1$$

Me respondió de inmediato es cierto, pero por alguna razón, todo el mundo (incluyendo a mis compañeros de clase y profesor de matemáticas) está en desacuerdo conmigo. Según ellos, cuando $x^2$ is not equal to $x$, $x$ also can't be $\implies$$ and because $x$ can be $x^2 \ne x \implies x \ne 1$$. Maybe $x$ can't be $-\pi i$ too, but as I see it, it doesn't really matter, as long as $x \ne 1$ holds. And it always holds when $x^2 \ne x$$ isn't excluded as a possible value of $x$, el enunciado es falso. Después de horas, aún soy incapaz de entender este ridículamente simple implicación. No puedo creer que me tengo que quedar con algo tan simple.

¿Por qué creo que la lógica de la frase anterior es verdadera:
Mi comprensión de la implicación símbolo %#%#% es la siguiente: Si la parte izquierda es verdadera, entonces la parte de la derecha debe ser también verdadera. Si la parte izquierda es falsa, entonces no se dice nada sobre la parte derecha. En la parte derecha de esta implicación no se dice nada acerca de si %#%#%, por lo que el enunciado es verdadero.

TL;DR:

%#%#%: Es esta frase es verdadera o falsa, y por qué?

Lo siento por molestar a una comunidad extraordinaria con una simple pregunta, pero tenía que preguntar a alguien.

Answer 1

La respuesta corta es: Sí, es cierto, porque el contrapositivo sólo expresa el hecho de que ^2=1$.

Pero en la polémica discusión de estas cuestiones, es a menudo (pero no siempre) una buena idea para probar la no-matemática ejemplos:

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"Si una bomba nuclear cae en el edificio de la escuela, se muere".

"Oye, pero que morir, también."

"Eso no ayuda mucho, aunque, por lo que aún es cierto que se muere".

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"Oh no, si el supermercado no está abierta, no puedo comprar galletas de chocolate chips."

"Usted no puede comprar la leche y el pan, ya sea!"

"Sí, pero yo prefiero a concentrarse en las grandes consecuencias".

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"Si usted firmar este contrato, usted consigue gratis una pluma."

"Hey, no me diga que usted recibe todo mi dinero."

"No preguntar."

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No matemático ejemplos también explicar la psicología detrás de su profesor y de los compañeros de clase de pensamiento. En la vida real, la elección de las consecuencias es, generalmente, un mensaje cargado y puede equivaler a una mentira por omisión. Por lo tanto, hay esta persistente sospecha de que la declaración original suprime la información sobre 0 a propósito.

Sugiero que usted aprenda acerca de algunos nonintuitive probabilidad de resultados y hacer apuestas con tu profesor.

Answer 2

En primer lugar, algunas observaciones generales acerca de las implicaciones lógicas/sentencias condicionales.

1. Como ustedes saben, $P \rightarrow Q$ is true when $P$ is false, or when $Q$ es cierto.

2. Como se ha mencionado en los comentarios, el contrapositivo de la implicación $P \rightarrow Q$, written $\lnot Q \rightarrow \lnot P$, es lógicamente equivalente a la implicación.

3. Es posible escribir implicaciones simplemente con el operador "or". Es decir, $P \rightarrow Q$ is equivalent to $\lnot P\text{ or }Q$, or in symbols, $\lnot P\lor Q$.

Ahora podemos mirar en su caso específico, el uso de los enfoques anteriores.

1. Si $P$ is false, ie if $x^2 \neq x$ is false (so $x^2 = x$ ), then the statement is true, so we assume that $P$ is true. So, as a statement, $x^2 = x$ is false. Your teacher and classmates are rightly convinced that $x^2 = x$ is equivalent to ($x = 1$ or $x =0\;$), y vamos a utilizar esta aquí. Si $P$ is true, then ($x=1\text{ or }x =0\;$) is false. In other words, ($x=1$) AND ($x=0\;$) are both false. I.e., ($x \neq 1$) and ($x \neq 0\;$) son verdaderas. I. e., si $P$, then $Q$.
   
2. El contrapositivo es $x = 1 \rightarrow x^2 = x$. Verdadero.
3. Usamos la "suficiencia de la o" para escribir nuestra condicional como: $$\lnot(x^2 \neq x)\lor x \neq 1\;.$$ That is, $x^2 = x$ or $x \neq 1$, que es $$(x = 1\text{ or }x =0)\text{ or }x \neq 1,$$ que es $$(x = 1\text{ or }x \neq 1)\text{ or }x = 0\;,$$ que es % # % # % , lo cual es cierto.

Answer 3

Cosa a tener en cuenta. Esto se llama la implicación lógica.

$x^2≠x⟹x≠1$: Es esta frase es verdadera o falsa, y por qué?

Siempre se puede comprobar que el uso de un ejemplo. Veamos esta implicación como $\rm P\implies Q$. Ahora vamos a considerar los casos:

• Caso 1: Si tenemos en cuenta $x = 0$, then $\rm P$ is false, and $\rm Q$ es cierto.
• Caso 2: Si tenemos en cuenta $x = 1$, then $\rm P$ is false, and $\rm Q$ es falso también.
• Caso 3: Si consideramos a cada valor, excepto $x=0$ and $x = 1$, then both $\rm P$ and $\rm Q$ will be true since $x^2 = x \iff x^2 - x = 0 \iff x(x - 1) = 0$ which means that $x=0$ and $x = 1$ son las únicas posibilidades.

Afortunadamente, nuestras tablas de verdad nos dicen que la implicación lógica se mantenga cierto por lo que no estamos teniendo $\rm P$ true and $\rm Q$ false. Look at the cases above; none of them has $\rm P$ true and $Q$ false. Thus Case 1, Case 2 and Case 3 are all true according to mathematical logic, so $\rm P\implies Q$ is true, or in other words: $x^2 \ne x \implies x \ne 1$ es cierto.

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Me disculpo por el retraso, pero siempre tengo mis dos centavos para ofrecer... gracias.