La bola unitaria de un espacio de Banach separable es metrizable

Question

Por favor, ayúdenme a entender por qué la bola unitaria de un espacio de banach separable es metrizable, cuando se le da la topología inducida de la topología débil. En concreto, mi problema es que creo que sería capaz de hacerlo si supiera que el dual es separable, pero no con la información actual dada. (Si tuviera esta información adicional, utilizaría los trucos de la métrica de suma infinita que uno utiliza con demasiada frecuencia).

El campo subyacente puede ser real o complejo.

Answer 1

Supongo que te refieres a la metrizabilidad de la bola unitaria en el doble espacio. Como no preguntas por la compacidad, podemos hacer trampa y asumir el teorema de Alaoglu de que la bola unitaria es compacta en la topología débil*. Como un mapa continuo e inyectivo de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo hacia su imagen, basta con encontrar un mapa continuo e inyectivo hacia algún espacio metrizable.

Elija una secuencia densa $\langle x_n : n \in \mathbb{N}\rangle$ en la esfera unitaria de $X$ esto existe por la separabilidad de $X$ . Sea $B'$ sea la bola unitaria en el espacio dual. Por la definición de la topología débil* tenemos un mapa continuo $f_n \colon B' \to D$ dado por $f_n(\varphi) = \varphi(x_n)$ donde $D = \{z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1\}$ es el disco unitario cerrado en $\mathbb{C}$ . Estos se ensamblan a un mapa continuo $f \colon B' \to D^{\mathbb{N}}$ dado por $$f(\varphi) = \langle f_n(\varphi) : n \in \mathbb{N}\rangle = \langle \varphi(x_n) : n \in \mathbb{N}\rangle$$ por la definición de la topología del producto en $D^\mathbb{N}$ . Afirmo que este mapa es inyectivo. En efecto, si $\varphi_1 \neq \varphi_2$ entonces hay $x \in X$ tal que $\varphi_1(x) \neq \varphi_2(x)$ . Normalizando $x$ podemos asumir que $\|x\| = 1$ . Al elegir $x_n$ lo suficientemente cerca de $x$ tendremos $\varphi_1(x_n) \neq \varphi_2(x_n)$ . Esto implica que $f(\varphi_1) \neq f(\varphi_2)$ y hemos terminado.

Para ser un poco más explícito, la métrica estándar en $D^\mathbb{N}$ es $d(a,b) = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} |a_n - b_n|$ y como $f$ es inyectiva y continua, $\delta(\varphi_1,\varphi_2) = d(f(\varphi_1),f(\varphi_2))$ es una métrica continua en $B'$ con la topología débil* y esto demuestra la metrizabilidad de $B'$ .

Asumimos el teorema de Alaoglu. Si no lo hacemos hay dos cosas más que hacer:

1. muestran que la convergencia con respecto a $\delta$ es equivalente a la convergencia débil*.
2. demostrar que $B'$ es compacto con respecto a $\delta$ .