Resolución de $\sin \theta + \cos \theta=1$ en el intervalo $0^\circ\leq \theta\leq 360^\circ$

Question

Resolver en el intervalo $0^\circ\leq \theta\leq 360^\circ$ la ecuación de $\sin \theta + \cos \theta=1$.

Tengo los dos ángulos en el intervalo $0^\circ$ y $90^\circ$, no es una respuesta que soy después, me gustaría ver distintos enfoques se puede tomar con un problema como este. ¡Gracias!

Lo siento, mi enfoque:

$$\begin{align} \frac{1}{\sqrt 2}\sin \theta + \frac{1}{\sqrt 2}\cos \theta &= \frac{1}{{\sqrt 2 }} \\ \cos 45^\circ\sin \theta + \sin 45^\circ\cos \theta &= \frac{1}{\sqrt 2} \\ \sin(\theta + 45^\circ) &= \frac{1}{\sqrt 2} \\ \theta + 45^\circ &= 45^\circ,\ 135^\circ \\ \theta &= 0^\circ, \ 90^\circ \end {Alinee el} $$

Answer 1

Una ligeramente 'ampliado sobre' la versión de la respuesta de user67418:

El círculo representa la curva paramétrica $(x=\cos\theta, y=\sin\theta)$, y la línea es la línea $x+y=1$, por lo que sus puntos de intersección son los puntos donde $\cos\theta+\sin\theta=1$; por lo menos para mí, se trata del modo más claro de ver que existen solamente las dos soluciones mencionadas.

Answer 2

Escribo $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)$ e ir de allí.

Una táctica similar funciona para todas las ecuaciones de la forma $a \sin \theta + b \cos \theta = c$ % constante $a,b,c$.

Answer 3

¿Está familiarizado con el círculo de la unidad? Si es así, entonces tome que enfoque para ver que $\sin \theta + \cos \theta =1$ sólo es satisfecho cuando $\theta = 90^{\circ}$ o $\theta = 0^{\circ}$, o equivalente, $\theta = 360^{\circ}$. Esto viene del hecho de que el círculo de la unidad tiene puntos $(1,0)$ $0^{\circ}$ y (0,1) $90^{\circ}$.

Answer 4

$$1=\sin\theta+\cos\theta\implies\frac{1}{\sqrt 2}=\sin\theta\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\cos\theta=\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\Longrightarrow$$

$$\theta+\frac{\pi}{4}=\begin{cases}\frac{\pi}{4}\\{}\\\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\end{cases}\implies\theta=0\;\;\vee\;\;\frac{\pi}{2}$$

Si no te gusta radianes, cambiar

$$\frac{\pi}{4}\sim45^\circ\;,\;\;\frac{3\pi}{4}\sim 135^\circ\;,\;\;\pi\sim 180^\circ$$