Resolví $\sum_{k=1}^n(k-1)(n-k)$ algebraico\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n(k-1)(n-k)&=&\sum_{k=1}^n(nk-n-k^2+k)\\ &=&\sum_{k=1}^nnk-\sum_{k=1}^nn-\sum_{k=1}^nk^2+\sum_{k=1}^nk\\ &=&\frac{n(n^2+n)}{2}-n^2-\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}+\frac{n^2+n}{2}\\ &=&n\left(\frac{3n^2+3n-6n-2n^2-3n-1+3n+3}{6}\right)\\ &=&n\left(\frac{n^2-3n+2}{6}\right)=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\\ &=&\frac{n!}{(n-3)!3!}=\binom{n}{3} \end{eqnarray *} pero ahora estoy interesado en una interpretación combinatoria de la misma. Para la mano derecha lado $\binom{n}{3}$ es el número de maneras de escoger 3 de un total de $n$ y por el lado izquierdo, que parece dividir $n$ en 2 grupos, uno de tamaño $k$ y otro de tamaño $(n-k)$, entonces la suma sobre todas las posibles $k$, pero no veo ninguna pista que cómo puedo elegir 3 de estos 2 grupos.
Respuesta
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muzzlator
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El lado izquierdo representa escogiendo un elemento "medio" en un sistema de $3.\ $ entonces usted tiene $k-1$ opciones para escoger el elemento más pequeño y $n-k$ opciones para escoger el elemento más grande.
Por ejemplo si $n=5$ y $k=3$, entonces tienes maneras de $2 \times 2$ $3$ siendo el elemento central:
$$(1 2) 3 (4 5)$$
Si $n = 7$ y $k=5$, tienen formas de $4 \times 2$ $5$ a ser el elemento central:
$$(1 2 3 4) 5 (6 7)$$
