Lema de cambio general Steinitz

Question

Donde puedo encontrar una prueba del siguiente lema de cambio general de Steinitz:

Que $B$ ser una base del espacio vectorial $V$ y $L\subset V$ ser linealmente independientes. Entonces hay un % de inyección $j:L\rightarrow B$tal que $L\cup(B\setminus j(L))$ es una Unión de separados y una base del espacio vectorial $V$.

¿O alguien sugerir una prueba de este resultado? Probablemente usando lema de Zorn.

¡Gracias!

Answer 1

Deje $\mathcal L$ denota el conjunto de todos los pares $(L',j)$ tal que $L'\subseteq L$ $j:L'\to B$ una inyección de satisfacciones que $L'\cup(B\setminus j(L'))$ es un discontinuo de la unión y una base del espacio vectorial $V$. Definir un orden parcial $\preceq$ $\mathcal L$ $(L_1,j_1)\preceq(L_2,j_2)$ fib $L_1\subseteq L_2$$j_{2\mid L_1}=j_1$. Tenga en cuenta que un subconjunto $S$ $V$ es linealmente independiente si cada subconjunto finito de $S$ es linealmente independiente, y generar el sistema iff cada elemento de a $V$ es generado por un subconjunto finito de $S$. Por lo tanto, es fácil ver que cada subcadena de $\mathcal L$ admite un elemento maximal en $\mathcal L$. A continuación, aplicar el Lema de Zorn se llega a la conclusión.