¿Es el axioma de inducción constructivamente comprobable para un modelo no estándar de la aritmética de Peano?

Question

Existen modelos de los números naturales que incluye números infinitos. Estos modelos son llamados no-estándar de los modelos de la aritmética. (Prueba: por el teorema de compacidad, existen modelos de la aritmética de Peano satisfacer cualquier subconjunto finito de los axiomas de Peano + $\exists c.0<c,S0<c,SS0<c,\dotsc$, por lo tanto, no existe un modelo de la satisfacción de todos ellos.) Igual que el modelo estándar $\mathbb{N}$, la no-estándar modelos satisfacen el axioma de inducción para las fórmulas, aunque en este caso sólo para forumlas expresable en el primer orden lenguaje de la aritmética de Peano.

En las respuestas como este, tenemos explícita construcciones de estos modelos estándar. En definitiva, nos tocan a nuestro bien ordenada infinita cadena de $\omega=\{0,1,2,3,\dotsc\}$ otra cadena, $\dotsc < c-1<c<c+1<\dotsc$ de tipo de orden $\omega^*+\omega,$$n<c+m, \forall n\in\mathbb{N},m\in\mathbb{Z}$. Si estamos modelando PA, por lo que nuestro modelo tiene la adición y la multiplicación, vamos a lindan con un más intrincado tipo de orden (una densa colección ordenada de estas cadenas), como se explica en esta pregunta, mientras que si queremos el modelo sucesor de la operación y la inducción, una sola cadena será suficiente.

Que este modelo de satisfacer a la mayoría de los axiomas de Peano es obvio, pero la validez de la inducción axioma no es. Es, de hecho, contradice la intuición primaria (presumiblemente basado en segundo orden de pensamiento?) acerca de cómo la inducción matemática obras, que es la que se levanta un bien conectado-ordenó total de la cadena, desde el primer elemento a través de todos los sucesores. Segundo orden de pensamiento sugiere que esto no debe ser válida a través de la desconectada total de la cadena presente en el no-modelo estándar.

La prueba de que el axioma de inducción tiene modelos no estándar por lo general se basa en el teorema de compacidad es no constructiva, ya que se basa en alguna forma débil del axioma de elección. Es este obligatoria? Hay una posibilidad explícita de una verificación de la inducción axioma para este modelo?

O esto es análogo a la existencia de una base de Hamel de los números reales sobre los racionales? Es posible que en algunos de elección de la negación de la teoría de conjuntos como Solovay del modelo, donde todos los conjuntos de reales son Lebesgue-medible, que también todos los modelos de números que satisfacen la inducción son los axiomas de orden-isomorfo a $\omega$?

Answer 1

Así, "de manera constructiva verifable" significa diferentes cosas en diferentes contextos. Pero me voy a tomar aquí como "verdadero sin el axioma de elección".

Así, en primer lugar, el teorema de compacidad tiene para los contables de idiomas en $\sf ZF$. Así que si usted acaba de añadir una constante símbolo, un diseño compacto todavía funciona, y se obtiene un modelo no estándar de Peano.

De hecho, usted puede pulsar este un montón de cosas más. Cada paquete de idioma ha de compacidad, y una vez me dijeron que hay una forma mucho más general, la caracterización de cuando un idioma va a satisfacer compacidad. Era algo parecido a tener un orden lineal y otra propiedad que no puedo recordar.

Así que incluso si usted agregó $2^{\aleph_0}$ nueva constante de símbolos debe tener una compacidad. Pero si quería añadir a $2^{2^{\aleph_0}}$, luego en Solovay del modelo (por ejemplo), usted no será capaz linealmente el fin de esta lengua y, por tanto, que, invariablemente, no será capaz de generar un modelo de $\sf PA$ de que la cardinalidad -- o de cualquier grande.

A la derecha. Entonces, ¿qué acerca de la verificación de algo de manera constructiva? Aquí es donde yo creo que le falta algo. Si usted tiene compacidad, entonces usted no necesita para comprobar nada. El teorema de compacidad le da la quería conclusión y eso es todo. Si compacidad falla, por ejemplo, por la razón de sus constantes no pueden ser linealmente ordenado, entonces no hay nada que comprobar, porque no hay el modelo resultante.

Entonces, ¿qué significa para comprobar los axiomas? Yo creo que realmente significa para pedir "podemos demostrar que este modelo existe?", y entonces la respuesta-por la adición de una constante -- es sí.

Answer 2

Thoralf Skolem primero dio una construcción de un modelo no estándar de PA (de manera que no implicó el axioma de elección) en 1933. El artículo es en sueco, así que no doy la referencia a menos que el OP está interesado. Finalmente fue observado que las teorías contables pueden tener interpretaciones no estándares en ZF (sin C). La teoría de Solovay mencionaste es mucho más reciente y se ocupa de un fenómeno diferente.