El límite como $x$ va al infinito $x-x\cos(4/x).$

Question

Me gustaría determinar %#% $ #%

¿Cómo incluso empiezo esto? No puedo conectar en el infinito a $$\lim_{x\to \infty} \left(x-x\cos \frac4x\right)$ se puede? ¿Eso lo hará cero? ¿Es el infinito de la respuesta?

Answer 1

Aviso, usted puede poner $ t = \frac{1}{x} $. Por lo tanto

$$ \lim_{x \to \infty} x - x \cos(\frac{4}{x} ) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} - \frac{1}{t} \cos(4t) = \lim_{t \to 0} \frac{ 1 - \cos (4t) }{t} $$

Ahora, multiplica esto por $\frac{4}{4} $ y recuerda el siguiente límite conocido:

$$ \lim_{\alpha \to 0 } \frac{ 1 - \cos \alpha}{\alpha} = 0 $$

Answer 2

Poniendo el $x=\frac{1}{t}$ se convierte en:

$$\ \lim_{t\to0}\frac{1-\cos(4t)}{t}=\lim_{t\to0}\frac{1-\cos(4t)}{16t^2}\cdot\frac{16t^2}{t}=\lim_{t\to0}8\cdot t=0$$

Answer 3

Podemos escribir $$x-x\cos\frac4x=x\frac{1-\cos^2\frac4x}{1+\cos\frac4x}=\left(\frac{\sin\frac4x}{\frac4x}\right)^2\cdot \frac{16}{1+\cos\frac4x}\cdot\frac1x.$ $ ahora como $x\to\infty$, el límite del primer factor es $1$, el límite de la segunda es $8$, y el límite de la tercera es $0$. Le permiten concluir.

Answer 4

Sugerencia: Factor xy utilice el hecho de que $~\dfrac{1-\cos t}2=\sin^2\dfrac t2~$ con $~\displaystyle\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}u=1$.