¿Qué tipo de patrón es...?

Question

He observado el siguiente patrón:

Tome el número $21$ y escribimos cubos de cada dígito y lo sumamos; entonces tenemos;

$21$$ ......> 2^3 + 1^3 = 9$

Ahora el resultado $9^3$ = $729$

Del resultado; $729$$ ......> 7^3 + 2^3 + 9^3 = 1080$

En $1080$$ ......> 1^3 + 0^3 + 8^3 + 0^3 = 153$

En $153$$ ......> 1^3 +5^3+3^3 = 153$

Ahora no podemos escribir más, en caso de que aunque escribamos no sirva de nada, ya que acabamos con el mismo número.

Ahora mi pregunta es, si empezamos con cualquier número como $21$ terminaremos en cualquier etapa como $153$ . ¿Por qué funciona este método?

Además, observé que, este procedimiento falla para el número $13$ y $25$ . ¿Por qué falló el método citado en el caso de $13$ y $25?$

Escribamos $13$ = $1^3 + 3^3$ = $28$

Ahora $28$ = $2^3 + 8^3$ = $520$

Ahora $520$ = $5^3 + 2^3$ = $133$$ ...(1)$

Ahora $133$ = $1^3 + 3^3+ 3^3$ = $55$

Ahora $55$ = $5^3 + 5^3$ = $250$

Ahora $250$ = $2^3 + 5^3$ = $133$$ ...(2)$

En $(1) and (2),$ podemos entenderlo, se repiten los mismos pasos. Sin embargo, nuestro ejemplo inicial es muy diferente. ¿Por qué la historia no es aplicable para algunos números como $13$ y $25?$ . También ¿hay algún uso de este tipo de procedimientos ...

Muchas gracias por leer estos párrafos tan grandes.

Answer 1

La razón de que se produzcan estos ciclos es la siguiente:

Está considerando la órbita del mapa $$\begin{eqnarray}f: \Bbb N& \rightarrow &\Bbb N \\ a_1\dots a_d &\mapsto &a_1^3+\dots + a_d^3.\end{eqnarray}$$

Como el valor más alto para un $d$ -se obtiene para $10^d-1$ y como $f(9999) = 4 \cdot 9^3 \leq 9999$ ,

$f(n) \leq n$ es decreciente para $n\geq 10^4$ y también $f(n)<10^4$ para $n\leq 10^4$ .

Así, partiendo de un número cualquiera, llegaremos finalmente a un número $<10^4$ y la secuencia nunca vuelve a superar ese límite. Así que cada órbita bajo $f$ debe ser eventualmente periódica.

Marcando todos los números siguientes $10^4$ podemos verificar que los únicos ciclos posibles son: $$\begin{eqnarray}1&\to& 1\\55 &\to& 250 \to 133 \to 55 \\136& \to& 244 \to 136 \\ 153 &\to& 153 \\ 160& \to& 217 \to 352 \to 160 \\ 370 &\to &370 \\ 371 &\to &371 \\ 407& \to &407 \\919& \to& 1459 \to 919\end{eqnarray}$$

Answer 2

Como señala el artículo de la wikipedia, tenga en cuenta que cuando $n>2916$ tenemos que $f(n)<n$ .

Ahora estamos preparados para demostrar la siguiente afirmación:

Para cualquier $n \in \mathbb{N}$ hay un $k \in \mathbb{N}$ tal que $f^k(n)=153$ si $n$ es divisible por 3.

Para ver esto se puede aplicar la inducción y comprobar que la afirmación se cumple para todo $n \leq 2916$ .

Para el paso de inducción obsérvese que si $n$ es divisible por $3$ entonces $f(n)$ también es divisible por $3$ .

Para más información, véase este y este .