Muestran que $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{3}$ es racional.

Question

Muestran que $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{3}$ es racional.

He intentado tratar de álgebra en este problema. Me di cuenta de que hay algún tipo de efecto de nidificación al tratar de solucionar el problema. Por favor me ayudan a entender cómo intentar denest este número.

Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Answer 1

Fijate que

Answer 2

Método 1: Considerar este almacenaje algoritmo:

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Denested raíces cuadradas: Dado un radical de la forma$\sqrt{X\pm {Y}}$$X,Y\in\mathbb{R}$$X>Y$, tenemos una posible simplificación como$$\sqrt{X\pm Y}=\sqrt{\dfrac {X+\sqrt{X^2-Y^2}}2}\pm\sqrt{\dfrac {X-\sqrt{X^2-Y^2}}2}\tag1$$

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El uso de $(1)$$\sqrt{4+2\sqrt3}$,$$\sqrt{4+2\sqrt3}=\sqrt{\dfrac {4+2}2}+\sqrt{\dfrac {4-2}2}=\sqrt3+1\tag2$$ Así que la expresión original se convierte en$$\color{brown}{\sqrt{4+2\sqrt3}}-\sqrt3=\color{brown}{\sqrt3+1}-\sqrt3=1$$ Que es racional.

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Método 2: Si no te gusta el $(1)$ y piensan que es demasiado complicado, te presento un método alternativo. Simplemente establezca $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt3$, equivalente a una variable y simplificar!

Aquí, tenemos$$\begin{align*} & \sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt3=\alpha\\ & \sqrt{4+2\sqrt3}=\alpha+\sqrt3\\ & 4+2\sqrt3=(\alpha+\sqrt3)^2\\ & 4+2\sqrt3=\alpha^2+3+2\alpha\sqrt3\end{align*}$$ Para resolver por $\alpha$,$2\alpha\sqrt3=2\sqrt3\implies\alpha=1$. La comprobación con la otra mitad, $\alpha^2+3=1+3=4$ mantiene. Por lo tanto,$$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt3=1$$

Answer 3

Muchas preguntas con suma o diferencia de raíces cuadradas se pueden solucionar con conjugar.

Así que, si $s = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{3}$ y $t = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{3}$,

$\begin{array}\\ st &=(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{3})(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + \sqrt{3})\\ &=4 + 2\sqrt{3}-3\\ &=1 + 2\sqrt{3}\\ \end{matriz} $

Desde $t-s = 2\sqrt{3}$, %#% de %#% o $st = 1+t-s$, y, por arte de magia, $s(t+1) = 1+t$ (a menos que $s = 1$ que lo hace no desde $t+1 = 0$).

Me sorprende que esto funcionó tan bien.

Suprime mi necesidad de generalizar y presentar esto como es.

Answer 4

Que $x=\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$. A continuación:

$$(x+\sqrt3)^2=4+2\sqrt{3}\implies x^2-1=2(1-x)\sqrt3\implies(x-1)(x+1+2\sqrt3)=0$$

Así que, sin duda $x=1$ o $x=-1-2\sqrt3$. Pero un momento de pensamiento (por ejemplo, teniendo en cuenta que $x>0$) nos convence que el primero de ellos debe ser el caso - es decir, $x=1$ (un conocido número racional).

Answer 5

Tales raíces cuadradas pueden ser computadas por un Simple regla Denesting:

Aquí tiene $\ 4+2\sqrt 3\ $ norma $= 4.\:$ $\rm\ \color{blue}{Subtracting\ out}\,\ \sqrt{norm}\ = 2\,\ $ $\,\ 2+2\sqrt 3\:$ los rendimientos

que tiene $\, {\rm\ \sqrt{trace}}\, =\, \sqrt{4}\, =\, 2.\,\ \ \rm \color{brown}{Dividing\ it\ out}\,\ $ de la % de rendimientos arriba $\ \ 1+\sqrt 3$

Comprobación de $\ (1+\sqrt 3)^2 =\, 4 + 2\sqrt 3$

Nota $\ $ muchos ejemplos más trabajados son en antes puestos sobre esta regla denesting.