Definición formal de una variable.

Question

Busco una definición comprensible pero formal de varaible.

Ya he mirado el post ¿Cuál es la definición formal de una variable? , sin embargo, es en gran medida incomprensible para alguien que nunca haya estudiado lógica de primer orden.

Mis pensamientos:

Al escribir pruebas, solemos decir

Sea $x\in\mathbb{R}$ se dará.

¿Qué estamos diciendo exactamente? Estamos diciendo que un elemento arbitrario en $\mathbb{R}$ recibir el nombre de $x$ . Pero cuando se habla de varaible, parece que las variables están sujetas a cambios.

Consideremos la función de producción en economía $Q(K,L)=K^{.5}L^{0.5}$

Es intuitivo llamar $K$ y $L$ variables. A veces, incluso se describe la función como

$Q=K^{.5}L^{0.5}$

y llame a $Q$ una variable en lugar de una función.

También parece popular en muchos libros de texto escribir lo siguiente:

$Q=Q(x)$

Considere también la regresión lineal OLS, los profesionales suelen escribir

$\mathbb{E}[y]=\alpha +\beta x$

y tratar $x,y$ como variables, mientras que los matemáticos a menudo escriben

$\mathbb{E}[Y\mid X=x]=\alpha + \beta x$

donde $Y,X$ son variables aleatorias, que son funciones, y $x$ es una variable. Motivado por los ejemplos anteriores, parece adecuado definir una varaible como una variable aleatoria, o una función. Entonces una variable puede tomar una variedad de valores y su definición puede resolverse estáticamente sobre la base de la teoría de conjuntos materiales; puesto que una variable será una función y una función es un conjunto, una variable será un conjunto.

Le agradecería que me ayudara a formular mi pregunta de forma concisa y que me diera una respuesta satisfactoria. No busco una respuesta filosófica.

Answer 1

He aquí una analogía con la programación, por si tienes alguna experiencia con ella. Una variable en un lenguaje de programación no es un "objeto", es un "nombre" para un objeto, que sólo ve el compilador. El uso de nombres de variables permite al programador referirse a varios objetos de datos de forma coherente, de modo que quede claro a qué objeto de datos se refiere cada parte del código. Una vez que el programa está totalmente compilado en código máquina, ya no hay nombres de variables, por así decirlo. A menos que el compilador incluya "información de depuración", no es posible saber qué nombre se utilizó originalmente para un objeto de datos únicamente inspeccionando el código máquina compilado.

Del mismo modo, las variables sintácticas de las matemáticas (expresiones como "x", "t", "Q", etc.) no son objetos matemáticos. -- no son objetos matemáticos, sino nombres que los matemáticos utilizan en sus escritos para referirse a objetos matemáticos. Al igual que un programa compilado ya no tiene nombres de variables, los objetos matemáticos en sí no tienen nombres de variables.

La definición de una variable es, ante todo, una definición que forma parte del lenguaje matemático. La mayor parte de las matemáticas se realizan en lenguaje natural, que carece de gramática formal. En lógica, a veces estudiamos lenguajes formalizados, que sí tienen gramáticas formales. En estos lenguajes, una determinada colección de expresiones se eligen al principio para que sean las "variables". La semántica de los lenguajes formales permite que estas variables se refieran a diversos objetos matemáticos.

Answer 2

Hay tres nociones diferentes que ha mencionado en su pregunta.

Variables en lógica

Una variable en lógica no es más que un símbolo que puede utilizarse en la cuantificación existencial o universal. En inglés podemos decir "Not everything is perishable." pero en lógica tendríamos que decir algo como:

$\neg \forall x \in Things\ ( Perishable(x) )$ .

Aquí " $x$ " no es más que un símbolo que aparece en dos lugares, tanto en la cuantificación como en la afirmación cuantificada, para describir con precisión la gama de todas las entidades que se afirma que son perecederas.

Dependiendo del tipo de sistema lógico en el que trabajes o del que hables, puedes tener variables libres y variables ligadas, siendo las primeras no cuantificadas y las segundas cuantificadas. Personalmente, en la práctica es mejor no tener variables libres. ¿Por qué lo digo? Considere " $x^2 \ge 0$ ". Suele entenderse correctamente por el contexto, pero en realidad no es preciso. Mejor es " $\forall x \in \mathbb{R}\ ( x^2 \ge 0 )$ ", asumiendo que " $\ge$ " y " $^2$ " se había definido previamente para los números reales.

Variables en cálculo

Las variables aquí son totalmente diferentes de las variables en lógica. Este era el uso original de las variables, que en realidad se llamaban así porque cada variable se refería a una cantidad variable, normalmente con respecto al tiempo. Si tuviéramos un objeto que se mueve en círculo alrededor del origen, entonces si expresamos su posición usando coordenadas cartesianas, con el tiempo sus coordenadas $x,y$ serían variables. Podríamos entonces definir lo siguiente:

En cualquier momento $t$ , dejemos que $x$ para ser el cambio en $x$ de esa época.

Obsérvese que en el momento $t$ cuando $t$ cambios en $t+t$ , $x$ cambiaría a $x+x$ . Para $t$ la relación $\frac{x}{t}$ sería interesante tenerlo en cuenta, ya que capta cuánto $x$ cambios con respecto a $t$ . Generalizando, si $x$ tiende a (pero no es igual a) $0$ como $t$ tiende a $0$ podemos considerar la relación $\frac{y}{x}$ y entonces podríamos definir la tasa de cambio de la siguiente manera:

Si $\frac{y}{x}$ acaba estabilizándose en un valor $r$ como $t$ tiende a $0$ entonces $\frac{dy}{dx} = r$ de lo contrario diremos que $\frac{dy}{dx}$ no está definido.

Este tipo de razonamiento fue el que condujo originalmente al cálculo, y de esta forma es muy útil tratar las variables como cantidades variables. Observa que este punto de vista explica trivialmente por qué podemos hacer lo siguiente:

Tomar cualquier variable $x,y$ variando con el tiempo, y que $z = x^2 y$ . Entonces $z$ también es una variable, y si $\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$ existe entonces $\frac{dz}{dt} = 2xy \frac{dx}{dt} + x^2 \frac{dy}{dt}$ .

Variables en teoría de la probabilidad

El tercer tipo de variable es la variable aleatoria en la teoría de la probabilidad, que es diferente de los dos tipos anteriores de variables. Una variable aleatoria se concibe mejor como un generador de valores a partir de su distribución de probabilidad que como un valor único.

También definimos la aritmética básica sobre variables aleatorias y entre variables aleatorias y valores ordinarios, para poder hacer cosas como:

Tomemos cualquier variable aleatoria real $X,Y$ y que $Z = \frac{1}{2}(X+Y)$ . Entonces $Z$ también es una variable aleatoria, y $\mathbb{E}(Z) = \frac{1}{2}(\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y))$ .

Comentarios

Puedes ver que las variables aleatorias y las variables en cálculo se manejan de manera similar, porque sigue la intuición. Por supuesto, si se quiere un rigor absoluto, hay que tener cierto cuidado al establecer los fundamentos necesarios, pero es posible, y por eso la mayoría de los matemáticos manipulan estas variables de esta manera en lugar de hacerlo todo en teoría de conjuntos sobre lógica de primer orden. No hay por qué preocuparse de que estas manipulaciones no sean rigurosas, siempre que se sigan estrictamente las reglas que rigen estas notaciones.

Es similar a nuestro uso de la axiomatización estándar de los números reales en lugar del uso de una estructura real que satisfaga esos axiomas. Si sabes un poco de programación, la axiomatización no es más que una interfaz (contrato), mientras que las estructuras reales son implementaciones (instancias concretas).

Las interfaces son siempre más robustas y, por tanto, preferibles a las implementaciones. No se trata sólo de un punto de vista filosófico, sino práctico. Si quisiéramos trasladar nuestro conocimiento matemático existente a un sistema formal subyacente diferente, como la teoría de tipos en lugar de la teoría de conjuntos, sin duda sería mucho más fácil para aquellas estructuras en las que utilizamos axiomatizaciones o una notación más sencilla.

Answer 3

Hay mucha notación ambigua en la práctica de las matemáticas, sobre todo en cálculo y análisis.

La noción de variable está estrechamente vinculada a la noción de tipo . Una de las definiciones (informales) de tipo es que un tipo es el rango de significación de una variable.

Al afirmar que $x\in\mathbb{R}$ significa que $x$ tiene un tipo dotado de la estructura de los números reales. En realidad deberíamos decir algo como " $x$ es de tipo $A$ y $A$ tiene la estructura de $\mathbb{R}$ ".
Entonces, por ejemplo, puede haber alguna otra variable $y$ de un tipo $B$ que también tiene la estructura de $\mathbb{R}$ pero $x$ y $y$ no pueden interoperar en general, si sólo no sabemos que $A=B$ .
Así que aquí la estructura algebraica y la portador se indican (¡ambiguamente!) con el mismo símbolo $\mathbb{R}$ .

Otra notación ambigua es llamar a una función y su valor sobre un argumento implícito con el mismo nombre.
Así, por ejemplo, cuando se habla de que $Q = \text{an expression on } x$ significan que $Q$ es el valor de una función implícita sobre un argumento fijo $x$ y a menudo denotan esa función implícita con el mismo nombre que el valor, de modo que para escribir " $Q=Q(x)$ ".

P.D. Tu idea de definir una variable mediante la teoría de conjuntos es, en el mejor de los casos, anticuada. En las matemáticas modernas, los conjuntos no son una noción básica, pero sí lo son el tipo, la variable y la función. Por no hablar de que "variable aleatoria" tiene un significado bastante diferente en el resto de las matemáticas que en estadística.