¿Tiene cada curva cúbica proyectiva irreducible un nonsingular punto de inflexión?

Question

¿Cada curva cúbica proyectiva irreducible tiene necesariamente un nonsingular punto de inflexión?

He estado tratando de construir contraejemplos, sin éxito, que me lleva a pensar que la pregunta puede ser contestada afirmativamente. Aquí tomamos $\mathbb{C}$ a ser el campo de tierra.

Answer 1

Eso creo. Siempre puede pegarse una cúbica irreducible en un formulario estándar más o menos $y^2=x(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)$ por un cambio lineal de variables. Luego en el parche $y=1$ la curva es nonsingular--ya sea la curva entera está nonsingular o tiene un único punto singular en el origen del $xy$ plano, dependiendo de los valores de $\lambda$s--y en el % de forma $z=x^3+ax^2z+bxz^2$. La tangente es claramente $z=0$ y también es claramente inflectionary, ya que ninguna pieza de $2$de grado-%.