Demostrar que el operador es un proyector

Question

Dejemos que $\mathscr{H}$ sea un espacio de Hilbert complejo. Un proyector es un mapa lineal $P:\mathscr{H}\to\mathscr{H}$ tal que $P\circ P = P$ .

Intento demostrar la siguiente afirmación, a partir de la información dada en la siguiente imagen (una instantánea de la página 2 del libro de Friedrich "Pertrubation of Spectra in Hilbert Space"):

Reclamación: Para cualquier intervalo $\mathscr{I}\subseteq\mathbb{R}$ el mapa $\eta_{\mathscr{I}}(A)$ es un proyector.

Tengo los siguientes problemas:

1) El autor definió el $f$ mapa $\mathscr{H}^\mathscr{H}\to\mathscr{H}^\mathscr{H}$ sólo para polinomios $f$ (ni siquiera series de potencia). No estoy seguro de cómo definir $\eta_{\mathscr{I}}(A)$ la función característica, a partir de las definiciones dadas. He buscado en Wikipedia lo cual me ha ayudado, pero sigo sin saber qué relación tiene con las definiciones dadas hasta ahora.

2) Supongamos que se "traga" de alguna manera que $\eta_{\mathscr{I}}(A)$ es el mapeo de identidad si $\mathscr{I}$ contiene el espectro de $A$ (que aún no se ha definido) y es el mapeo cero en caso contrario. ¿Cómo se demuestra la afirmación, estrictamente a partir del hecho de que $\left[\eta_{\mathscr{I}}(\alpha)\right]^2=\eta_{\mathscr{I}}(\alpha)$ ?

Answer 1

1) En esa página el autor no está afirmando que $\eta_{\mathscr{I}}(A)$ existe (todavía), sino que se discute qué propiedades debe tener antes de construirlo.

2) Observe que $\eta_{\mathscr{I}}(A)$ es un operador , no una función. La idea del cálculo funcional es que el mapa $f\longmapsto f(A)$ debe ser un $*$ -es decir, debe preservar las sumas y los productos, y enviar los conjugados a los adjuntos: $$ (f+g)(A)=f(A)+g(A),\ \ (fg)(A)=f(A)g(A),\ \ \bar f(A)=f(A)^*. $$ Dado que la función $\alpha\longmapsto\eta_{\mathscr{I}}(\alpha)$ es una función característica, tiene valor real y satisface $\eta_{\mathscr{I}}(\alpha)^2=\eta_{\mathscr{I}}(\alpha)$ Así que usted espera tener $$ \eta_{\mathscr{I}}(A)^2=\eta_{\mathscr{I}}(A),\ \ \eta_{\mathscr{I}}(A)^*=\eta_{\mathscr{I}}(A), $$ lo que equivale exactamente a decir que $\eta_{\mathscr{I}}(A)$ es una proyección.

Answer 2

Sólo tiene que utilizar ese

La suma y el producto de dos operadores de este tipo corresponden a la suma y el producto de las funciones correspondientes.

Dicho esto, para cualquier operador $A$ el cuadrado del operador $\eta_\mathscr I(A)$ es igual a $\eta_\mathscr I^2(A)$ -- lo que sea que signifique --, pero como función real (o compleja), tenemos $\eta_\mathscr I^2=\eta_\mathscr I$ Así que $$[\eta_\mathscr I(A)]^2=\eta_\mathscr I^2(A)=\eta_\mathscr I(A)\,.$$