¿La transformada de Fourier está definida en $L^p(\mathbb{R})$ sólo para $p \in [1, 2]$ ?

Question

¿La transformada de Fourier está definida en $L^p(\mathbb{R})$ sólo para $p \in [1, 2]$ ?

A partir del análisis de Lieb y Loss, amplían la definición de la transformada de Fourier de $L^1(\mathbb{R})$ a $L^p(\mathbb{R}), p \in (1, \infty)$ , utilizando $$\| FT(f) \|_q \leq C_{p,q} \|f\|_p$$ lo cual, según ellos, sólo es válido cuando $p \in (1,2]$ . ¿Significa eso que FT no puede definirse en $L^p(\mathbb{R})$ con $p \in (2, \infty)$ ¿ posiblemente a través de otros medios?

Gracias y saludos.

Answer 1

La transformada de Fourier es un operador lineal. Al definir un operador, debemos pensar no sólo en el espacio del dominio, sino también en el objetivo. Es cierto que la transformada de Fourier no es un operador acotado de $L^p(\mathbb R)$ a $L^q(\mathbb R)$ ( $1/p+1/q=1$ ) cuando $p>2$ . La cuestión es que los grandes $p$ permite que la función tenga una "cola" bastante pesada, que en el lado de Fourier resulta en un mal comportamiento local.

Pero es posible definir la transformada de Fourier de cualquier función en $L^p(\mathbb R)$ considerando $f$ como una distribución templada. Entonces la transformación se convierte en un automorfismo del espacio vectorial topológico de las distribuciones templadas. De hecho, el artículo de Wikipedia sobre Transformación de Fourier cubre esto, y enlaza con un artículo sobre distribuciones.

Pregunta relacionada con el MSE: Transformación de Fourier en $L^p$