¿Por qué nos interesan los grupos simples en lugar de los grupos indecomponibles?

Question

Lo primero que hacemos para analizar algo es "dividir y conquistar". Por eso es natural considerar los grupos simples. Del mismo modo, parece natural considerar grupos indecomponibles . Sin embargo, nadie me enseñó sobre los grupos indecomponibles y lo sé desde hace poco.

Por supuesto, los grupos indecomponibles son una clase más grande que los grupos simples. Dicho esto, no responde completamente a mi pregunta porque un concepto más amplio es a veces más fácil de tratar (por ejemplo, $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{R}$ ).

¿Hay alguna razón para que nos preocupemos por los grupos simples y no por los grupos indecomponibles?

Añadido : Del comentario a DustanLevenstein - Por ejemplo, en la teoría de módulos, los módulos indecomponibles parecen ser tratados igual que los módulos simples. La importancia de los módulos indecomponibles y los módulos simples parece estar al mismo nivel. ¿Cuál es la diferencia entre ellos?

Answer 1

Hacer buenas definiciones matemáticas implica contemplar un compromiso entre generalidad y potencia. Por ejemplo, los monoides son más generales que los grupos, pero una de las razones por las que la gente no suele aprender sobre los monoides en un primer curso de álgebra abstracta es que es difícil demostrar algo sustancial incluso sobre, digamos, los monoides finitos sin más suposiciones, mientras que los grupos son menos generales pero se pueden demostrar muchas cosas interesantes sobre, digamos, los grupos finitos (por ejemplo, el teorema de Lagrange, los teoremas de Sylow).

Los grupos indecomponibles son ciertamente más generales que los grupos simples, y es cierto que si entendiéramos los grupos indecomponibles entonces entender todos los grupos sería sencillo, pero la dificultad no se ha eliminado mágicamente. El punto del comentario de Dustan Levenstein es que como es tan fácil clasificar todos los grupos finitos una vez que hemos clasificado todos los grupos finitos indecomponibles, estos últimos deberían ser esencialmente tan difíciles de entender como los primeros. En particular, uno no debería ser capaz de hacer afirmaciones mucho más sólidas sobre los grupos indecomponibles que las que podría hacer sobre los grupos arbitrarios: es un mal compromiso entre generalidad y poder.

La teoría de módulos está más cerca del álgebra lineal que de la teoría de grupos (no abeliana), por lo que cabe esperar una relación más estrecha entre la indecomposibilidad y la simplicidad en este caso. Sin embargo, no tengo conocimientos más específicos sobre lo que ocurre en este caso.