Hay una caracterización de los grupos con la propiedad $\forall N\unlhd G,\:\exists H\leq G\text{ s.t. }H\cong G/N$?

Question

Un error común para el comienzo de la teoría del grupo de estudiantes es la creencia de que un cociente de un grupo de $G$ is necessarily isomorphic to a subgroup of $G$. Hay una caracterización de los grupos en los que esta propiedad se mantiene?

Si esta pregunta es demasiado amplia, yo podría preguntar si tal caracterización existe para $p$-grupos.

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Historia: originalmente se planteó la pregunta contraria, respecto a los grupos para que $\exists N\unlhd G\,:\, \not\exists H \unlhd G\, \text{ s.t. } H \cong G/N$, y crossposted esta a MO. He recibido una respuesta a la (ahora omitido) periféricos de la pregunta acerca de la probabilidad, lo que muestra que la mayoría de los grupos finitos probablemente tienen esta propiedad. Después de esto, he cambiado la pregunta a su estado actual, como esta pequeña colección de los grupos es más probable que se caracterizables.

Answer 1

Si desea cambiar su pregunta para que de la caracterización de todos los grupos $G$ with $N⊴G$ such that there is no subgroup $H$ of $G$ with $H≅G/N$ and $H \cap N =1$, then you'd be asking for a characterization of all nonsplit extensions of $N$ by $H$. Esto es parte del "problema con la extensión", que es intratable. La forma en que la pregunta es, actualmente, dijo, la caracterización sería una subclase de la clase de todos los nonsplit extensiones.

Por ejemplo, su caracterización incluiría a todos los grupos de $G=NH$ where $H$ is a simple group with nontrivial Schur multiplier $N$. Here $G$ is a nonsplit (central) extension of $N$ by $H$, but $G$ contains no subgroup isomorphic to $H$. However, as presently stated, your characterization would not include the quaternion group $Q_8$, even though $Q_8$ is a nonsplit extension of $\langle i\rangle\cong \mathbb Z_4$ by $\mathbb Z_2$. Indeed, $Q_8$ contains the subgroup $\langle -1\rangle\cong\mathbb Z_2$. Note, however, that $\langle -1\rangle$ is contained in the kernel of the quotient map $Q_8\to Q_8/\langle i\rangle$, por lo que no se viola el "modificado" la versión de la pregunta que he mencionado anteriormente.