Interpretación geométrica de las funciones hiperbólicas

Question

Al demostrar identidades como $$\cosh(2x)=\cosh^2(x)+\sinh^2(x)$$ $$\cosh^2(x)=\sinh^2(x)+1$$ algebraicamente, me asalta la sensación de que debería haber una interpretación geométrica que las hiciera inmediatamente evidentes. La mayoría de las análogo identidades con $\sin,$ $\cos$ tienen tales interpretaciones.

¿Es posible utilizar la geometría hiperbólica para demostrar geométricamente las identidades de la trigonometría hiperbólica? Cualquier ejemplo sería muy apreciado (si es que esto es posible).

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Adenda: Si no hay analogía en la trigonometría hiperbólica, ¿podría utilizarse en su lugar el plano complejo y la relación entre funciones hiperbólicas y no hiperbólicas (es decir $\cos(x)= \cosh(ix), \sin(x)=-i\sinh(ix))$ ?

La segunda identidad equivale a decir que para todo $x\in\mathbb{R}$ hay un triángulo con hipotenusa $\cosh(x)$ y los lados $\sinh(x),1$ . ¿Existe una interpretación geométrica de $x$ ?

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es sí - a estas alturas probablemente ya hayas visto esto y seguido adelante, pero lo publico de todos modos en beneficio de otros lectores. Las funciones hiperbólicas, como $\sinh$ y $\cosh$ , son uno de esos temas que casi siempre se omiten en las clases de matemáticas de la universidad, y si aparecen después todo el mundo actúa como si lo hubieras visto un millón de veces. Como resultado, parece que hay un montón de preguntas como esta en la web, a menudo con respuestas demasiado complicadas. De todos modos, aquí está mi intento de ayudar a esa situación.

Las funciones hiperbólicas se llaman así porque surgen de la hipérbola $x^2-y^2=1$ de forma análoga a como se relacionan las funciones trigonométricas ordinarias con el círculo $x^2+y^2=1$ (pero no de la manera que se podría pensar). Recuerde que si $\theta$ es un ángulo del positivo $x$ -eje en $\mathbb{R}^2$ en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces el punto del círculo unitario interceptado por $\theta$ será $(\cos\theta, \sin\theta)$ . Queremos hacer algo parecido, sustituyendo el círculo por la hipérbola como se ha mencionado, pero para que la analogía funcione tenemos que describir el escenario del círculo unitario de forma un poco diferente.

En primer lugar, hazte una buena imagen en tu cabeza (o dibuja una, o busca una) de la hipérbola $x^2-y^2=1$ . Tiene dos componentes: uno a cada lado del $y$ -eje, y si consideramos los lugares donde un ángulo $\theta$ como la anterior interceptaría un punto en ella, estaríamos limitados a $\theta\in(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})\cup(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4})$ más los múltiplos de $2\pi$ . Pero como se puede ver en la definición exponencial de estas funciones, $\cosh$ y $\sinh$ tener dominio $\mathbb{R}$ .

Así que, en lugar de pensar en el ángulo $\theta$ , piense en el zona $\alpha$ limitado por su rayo inicial (el $x$ -eje), su rayo terminal y el círculo. Poniendo $\theta$ en radianes, esta área es $\alpha=\theta/2$ (por ejemplo, el área de todo el círculo es $\pi$ que es atravesado por la rotación completa $2\pi$ ). Mirando ahora el punto interceptado por $\theta$ en el círculo en términos de $\alpha$ tenemos $(\cos 2\alpha,\sin 2\alpha)$ .

Esta es la configuración correcta para pasar a la configuración hiperbólica. Supongamos que $\alpha$ es ahora el área delimitada por el $x$ -eje, algún otro rayo $\rho$ saliendo del origen, y la hipérbola $x^2-y^2=1$ . Ahora identifica el punto de la hipérbola interceptado por $\rho$ . Las coordenadas de este punto serán $(\cosh 2\alpha, \sinh 2\alpha)$ . Tenga en cuenta que el $\alpha$ Los valores que se pueden obtener de esta manera son arbitrariamente grandes, aunque para delimitar un área $\rho$ no puede pasar (o golpear) $\frac{\pi}{4}$ de la $x$ -eje - usando un poco de cálculo (y probablemente una tabla integral - la integral es fea) puedes ver que el área entre la línea diagonal y la hipérbola, en el primer cuadrante, es infinita. Si quieres que sea negativa $\alpha$ simplemente mueve tu rayo hacia abajo y llama al área negativa.

Esto da su segunda identidad fácilmente. La primera requiere un poco más de trabajo.

Answer 2

Por supuesto, admiten la misma interpretación en un espacio pseudoeuclidiano de 1+1 dimensiones (con " dx 2  - −  dv 2 " forma de magnitud vectorial) como tienen las funciones trigonométricas en el espacio euclidiano bidimensional. Ese espacio pseudoeuclidiano también se conoce como (el plano de) los números complejos divididos y tiene su "círculo trigonométrico" con ecuación " x 2  - −  v 2  = 1" y los ángulos hiperbólicos. Una pequeña diferencia: el " x  La desigualdad "> 0" debería añadirse a la ecuación mencionada para restringir la hipérbola eh trigonométrica sólo a los ángulos polares de -∞ a +∞.

La explicación con funciones analíticas sobre números complejos (estándar) no es mutuamente excluyente con el argumento de la firma métrica presentado anteriormente. Si se considera ℂ 2  = {( z ,  w )} donde z  =  x  +  iy , w  =  u  +  iv , x ,  y ,  u ,  v  ∈ ℝ, con forma cuadrática dz 2  +  dw 2 entonces la restricción a un subespacio totalmente real de {( x ,  u )} con y  =  v  = 0 da una geometría euclidiana con trigonometría estándar, mientras que la restricción a la de {( x ,  v )} con y  =  u  = 0 da la mencionada geometría pseudoeuclidiana con trigonometría hiperbólica. En otras palabras, la complejización de ambos espacios reales bidimensionales da lo mismo. Ahora se puede escribir una presentación paramétrica de una línea: $$ z = \frac{e^α + e^{-α}}2 t\\ w = i\frac{e^α - e^{-α}}2 t $$ y decir que el verdadero α son ángulos hiperbólicos (con las correspondientes rectas situadas en el plano pseudoeuclidiano para los reales t ) y el imaginario α son ángulos estándar (circulares) (igualmente, en el plano euclidiano). Obsérvese una identidad $$(\frac{e^α + e^{-α}}2)^2 + (i\frac{e^α - e^{-α}}2)^2 = 1,$$ así que t es un parámetro natural (generalmente, complejo): t 2  =  z 2  +  w 2 .