Hay tantos números reales, ya que hay números imaginarios?

Question

Por un lado, sé que $\mathbb{R}$ $\mathbb{I}=\{xi:x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}$ ambos son innumerables conjuntos, por lo que tienen el mismo número de elementos (es decir, la misma cardinalidad)

Por otro lado, no hay bijection entre el $\Bbb{R}$ y $\Bbb{I}$: $0$ no está asignada a nada en $\Bbb{I}$, por lo tanto, por definición, $\require{enclose} \enclose{horizontalstrike}{\mathbb{R}}$ $\enclose{horizontalstrike}{\mathbb{I}}$ tienen diferentes tamaños (cardinalidades) .

Estas dos afirmaciones parecen contradecirse entre sí, de modo que es la correcta?

Por favor, disculpe mi ignorancia y/o falta de la terminología correcta; soy un novato cuando se trata de la teoría de conjuntos.

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Edit: las declaraciones con ponches son erróneas y que después han sido demostrado ser una tontería, pero he incluido para su integridad.

Answer 1

Hay un bijection entre el$\Bbb R$$\Bbb C$. Por lo tanto, no es una inyección de $\Bbb I$ a $\Bbb R$, y, por supuesto, es una inyección de $\Bbb R$ a $\Bbb I$. Por el Cantor-Bernstein teorema, hay un bijection entre los dos conjuntos.

A ver por qué no hay un bijection entre el $\Bbb R$ $\Bbb C$ es muy fácil darse cuenta de que no es un bijection entre el $\Bbb R$ $\Bbb{N^N}$ (el conjunto de secuencias infinitas de números naturales), y, a continuación, observe que: $$(\Bbb{N^N})^2\approx\Bbb{N^{2\times N}}\approx\Bbb{N^N}.$$

Por lo tanto,$\Bbb C$, lo que, naturalmente, tiene un bijection con $\Bbb R^2$, tiene la misma cardinalidad como $\Bbb R$.

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La pregunta ha sido editado, y ahora se redefine $\Bbb I$ como el conjunto $\{xi\mid x\in\Bbb R\setminus\{0\}\}$.

Aquí un bijection es fácilmente definible. Es cierto que $x\mapsto xi$ no es un bijection desde $0$ nos está causando problemas. Hay dos maneras fáciles de resolver este problema:

1. $\Bbb I$ mapas injectively en $\Bbb R$ mediante la asignación de $xi$$x$, obviamente; y en la otra dirección, $x\mapsto e^xi$ es una inyección así. Por lo tanto, $\Bbb R$ $\Bbb I$ tienen la misma cardinalidad. Pero podemos hacerlo mejor, podemos escribir una explícita bijection.

2. Tenga en cuenta que sólo uno de los elementos nos está causando problemas, así que sólo tenemos que "shift" algunos elementos de su alrededor. Por ejemplo: $$x\mapsto\begin{cases} xi & x\notin\Bbb N\\(x+1)i & x\in\Bbb N\end{cases}$$ and in this context, $0\en\Bbb$N.

La cuestión clave es que no todos los bijection tiene que ser "muy simple" o incluso continua. O incluso definibles por nice significa.

Answer 2

Te puedo dar una biyección explícita de$\mathbb{R} \mapsto \mathbb{I^+}$. Mapa $x \mapsto i e^x$.