Es un mapa de la expansión de un espacio métrico compacto continua?

Question

Me inspiré en esta cuestión la Existencia de convergentes larga a pensar en el siguiente problema: Supongamos que usted tiene un espacio métrico compacto $(X,d)$ y un mapa de la expansión de $T:X\rightarrow X$, es decir, $d(Tx,Ty)\geq d(x,y)$ por cada $x,y\in X$. Es el mapa de $T$ luego continua?

Sin asumir la continuidad ya sabemos que $T^n(X)$ debe ser denso en $X$ cualquier $n\geq 1$, ya que dado $z\in X$ la órbita de $z$ debe acumular al $z$. Pero mostrando la continuidad ha excaped mí hasta ahora. Si hay ejemplos de lo contrario usar el Axioma de Elección, que también me interesa.

Answer 1

En este mapa se $T$ debe ser en realidad una isometría. De hecho, dado $x,y\in X$, vamos a $x_n=T^n(x)$$y_n=T^n(y)$. Por compacidad, podemos encontrar $n_k$ tanto $(x_{n_k})$ $(y_{n_k})$ convergen, y al pasar a una más larga asumimos $n_{k+1}-n_k$ es cada vez mayor. Establecimiento $m_k=n_{k+1}-n_k$, podemos encontrar como en su respuesta a la pregunta vinculada que $(x_{m_k})$ converge a $x$ $(y_{m_k})$ converge a $y$. En particular, $d(x_{m_k},y_{m_k})$ debe converger a $d(x,y)$. Pero mientras $m_k>0$, $d(x_{m_k},y_{m_k})\geq d(T(x),T(y))$. De ello se deduce que debemos tener $d(T(x),T(y))\leq d(x,y)$.

(Por la compacidad de $X$ y su observación de que $T(X)$ es densa, se deduce que el $T$ es también surjective.)