Límite de$e^x/x^3$ en el infinito sin l'Hopital

Question

Estoy buscando una buena prueba de que $$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^3} \to +\infty$$ sin derivados (es decir, Taylor o de l'Hospital).

Mi enfoque actual es el cambio en una secuencia: Para cualquier $x$ existe $n$ tal que $n\leq x\leq n+1$. Entonces $$\frac{e^x}{x^3}\geq\frac{e^n}{(n+1)^3}=:a_n.$$ Desde $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{e^n}{(n+1)^3}\frac{n^3}{e^{n-1}}=e>1,$$ tenemos que $$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^3} \geq \lim_{n\to\infty} a_n \to +\infty.$$

Sin embargo, este enfoque parece bastante complicado para mí. ¿Hay algún primaria prueba de que fueron significativamente más sencillo? Por ejemplo, puedo pasar por alto algunas trivial obligado (es decir, no se deriva de Taylor) en $e^x$ que podría ser útil?

PS: definimos $e^x:=\lim\limits_{n\to\infty} (1+x/n)^n$.

PPS: traté de comprobar si una pregunta como esta existe, pero no lo pude encontrar. Si es que existe, me disculpo.

Answer 1

Existe una desigualdad$e^t \geq t+1$ "elemental", desde el cual podemos deducir$$\frac{e^x}{x^3} = \frac{(e^{x/4})^4}{x^3} \geq \frac{(\frac{x}{4} + 1)^4}{x^3} \geq \frac{1}{4^4}\frac{x^4}{x^3} = \frac{x}{4^4} \to \infty$ $.

Answer 2

El uso de $x=3t$ por lo que el límite es $$ \lim_{t\to\infty}\frac{e^{3t}}{27t^3}= \lim_{t\to\infty}\frac{1}{27}\left(\frac{e^t}{t}\right)^{\!3} $$ Así usted ve que usted sólo tiene que mostrar $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x}=\infty $$ Ahora el problema está en cómo se defina $e^x$.

Con $e^x=\lim_{n\to\infty}(1+x/n)^n$, la desigualdad de Bernoulli da $$ \left(1+\frac{x}{n}\right)^{\!n}\ge 1+x $$ pero esto parece débil. No se si considerar $$ \frac{e^x}{x}=\frac {e^{x/2})^2}{x}\ge \frac{(1+x/2)^2}{x} $$

Tenga en cuenta que esta técnica muestra que $$ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^\alpha}=\infty $$ para cada $\alpha>0$, tan solo en una sola vez: considere el $e^x=(e^{x/\alpha})^\alpha$.

Answer 3

Dejar $x\gt 0$. Expandir$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ usando el teorema del binomio. Nos encontramos con que el término en$x^4$ es$$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!n^4}x^4.$ $ Tenga en cuenta que si$n\ge 6$ #%% luego #%. De ello se desprende que$n(n-1)(n-2)(n-3)\gt \frac{n^4}{2^3}$, y por lo tanto$e^x\gt \frac{1}{8\cdot 4!}x^4$ $

Answer 4

Suponiendo que usted puede utilizar la definición de$e^x$.

$e^x$ Siempre tiene todos los términos positivos de la expansión para x positivo.

Siempre hay un término en la definición de$e^x$ de$\frac{x^4}{24}$ y así$e^x > \frac{x^4}{24}$

ps

Por encima de un cierto valor de$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+... > \frac{x^4}{24}$ tenemos que tener$x$ y eso es$x^4 > 24x^3$

Así que en cualquier valor por encima de$x>24$ tenemos garantizado

ps

Y el límite de que a medida que$x=24$ se aproxima$$\frac{e^x}{x^3} > x$ es$x$