Noté que$$\sin(a+b)\sin(a-b) = \cos a \cos b\qquad (1)$ $% cuando #% # $%
¿Hay una razón subyacente para esta coincidencia?
En concreto, me gustaría responder a estas preguntas:
El lado izquierdo de$(1)$ es igual al$\cos^2 b−\cos^2 a$. Por lo tanto tenemos:$\cos b = x \cos a$, donde$x^2−x−1=0$.
La respuesta a la segunda pregunta se parece a "no". Al menos Wolfram Alpha no dice nada acerca de la racionalidad de $\frac{1}{\pi}\arccos \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .
La respuesta a mi segunda pregunta es "no". Supongamos que algunos de los $q\in\mathbb{Q}\cap [0,1)$ satisface $$\cos q\pi = x, \qquad x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$ A continuación, la cantidad de $z=x+i\sqrt{-x}=e^{iq\pi}$ debe ser una raíz de la unidad.
Sin embargo, podemos calcular explícitamente $$z^n=(a_n x + b_n) + (c_n x + d_n)i\sqrt{-x}$$ (el uso de $x^2=x+1$) con lo cual un simple inducción muestra que $a_n, b_n, c_n, d_n\in\mathbb{Z}^+$ creciente de las secuencias de $n\geq 1$, y, en particular,$a_n \geq 1$$n\geq 1$.
Desde $x$ es irracional tenemos $\Re(z^n)=a_n x + b_n \not = 1$$n\geq 1$, lo $z$ no es una raíz de la unidad, por lo tanto no hay tal $q$ existe. De ello se desprende que la toma de $a=0$ en la ecuación original conduce a un valor de $b$ que no conmensurables con las $\pi$.
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