Deje $X=\{x_0=0,x_1,\ldots,x_m\}$, $\Vert x_i-x_j\Vert=1$ si $i\ne j$. De ello se desprende que $\Vert x_i\Vert=1$ $i=1,2,\ldots,m$ $\langle x_i,x_j\rangle=\dfrac12$ diferentes $i\ne j$$\{1,2,\ldots,m\}$.
Queremos demostrar que $m\le n$. Claramente podemos suponer que $m>1$, porque si $m=1$ no hay nada que demostrar.
Ahora, vamos a $v=\sum\limits_{i=1}^mx_i$. Claramente tenemos
$$\eqalign{ \Vert v\Vert^2 &=m+\frac{m(m-1)}{2}=\frac{m(m+1)}{2},\etiqueta{1}\cr
\langle x_i,v\rangle&=\frac{m+1}{2},\qquad\hbox{para $i=1,2,\ldots,m$.} }$$
Para un dado real $t$ (a determinar), consideramos que la $y_1,y_2,\ldots,y_m$ definido por $y_i=tx_i-v$.
El uso de $(1)$ tenemos, por $i\ne j$$\{1,2,\ldots,m\}$:
$$\eqalign{\Vert y_i\Vert^2&=t^2-2t\frac{m+1}{2}+\frac{m(m+1)}{2}
\cr
y=(t-\frac{m+1}{2})^2+\frac{m^2-1}{2}>0.\cr
\langle y_i,y_j\rangle&=\frac{1}{2}t^2-2t\frac{m+1}{2}+\frac{m(m+1)}{2}\cr
&=\frac{(t-m-1)^2-m-1}{2}
}$$
Ahora, la elección de $t=m+1+\sqrt{m+1}$, podemos ver que $\langle y_i,y_j\rangle=0$ por cada $i,j$$\{1,2,\ldots,m\}$$i\ne j$. Por lo tanto, $(y_1,y_2,\ldots,y_m)$ es un sistema ortogonal de vectores no nulos en $\mathbb{R}^n$,son linealmente independientes y, en consecuencia,$m\le n$, que es
$\vert X\vert=m+1\le n+1$,que es la conclusión deseada.
