La atmósfera gira junto con la Tierra por la misma razón que tú lo haces.
No se necesita fuerza para hacer que algo se mueva. Esa es una ley básica de la física: una cosa que está en movimiento seguirá moviéndose si no hay fuerza sobre ella.
Se necesita fuerza para hacer que algo cambie su velocidad, o para hacer que su movimiento apunte en una nueva dirección. Una fuerza puede hacer ambas cosas o solo una de ellas. La mayoría de las fuerzas hacen ambas, pero una fuerza que empuja en la misma dirección en la que ya estás yendo solo cambia tu velocidad, y no cambia tu dirección. Una fuerza que empuja en ángulo recto a la dirección en la que ya estás yendo solo cambia tu dirección, y no agrega velocidad. Una fuerza a las "10 en punto", por ejemplo, cambiará tanto tu velocidad como tu dirección.
Mientras estás quieto en la Tierra, sigues yendo a la misma velocidad, pero tu dirección cambia; entre el día y la noche te mueves en direcciones opuestas. Por lo tanto, las fuerzas sobre ti deben estar en ángulo recto con tu dirección de movimiento. De hecho, lo están. Tu movimiento es de oeste a este a lo largo de la superficie de la Tierra, y la fuerza de la gravedad te jala hacia abajo hacia el centro de la Tierra, la fuerza y tu movimiento están en ángulos rectos. Del mismo modo para la atmósfera. Se mueve junto con la Tierra, y se mueve a una velocidad constante. No necesita nada para empujarlo junto con la Tierra. Dado que solo su dirección de movimiento está cambiando, solo necesita una fuerza en ángulo recto con su movimiento, igual que tú, y la fuerza que hace el trabajo es nuevamente la gravedad.
Esa no es toda la imagen, porque la cantidad en que cambia tu dirección de movimiento depende de cuán fuerte sea la fuerza en ángulo recto. Resulta que la gravedad es mucho más fuerte de lo necesario para cuánto cambia nuestra dirección de movimiento a medida que la Tierra gira. Debe haber alguna otra fuerza en nosotros y en la atmósfera que cancele la mayor parte de la gravedad. Existe. Para mí es la fuerza de la silla en mi trasero. Para la atmósfera, es la presión del aire.
Entonces, la gravedad no "hace girar el aire". El aire ya está en movimiento, y la gravedad simplemente cambia su dirección para jalarlo en un círculo.
Puede que te estés preguntando por qué el aire no simplemente se queda allí y la Tierra gira por debajo de él. Una respuesta a eso es que desde nuestro punto de vista eso significaría viento increíblemente fuerte todo el tiempo. Ese viento chocaría con cosas y eventualmente se detendría (desde nuestro punto de vista, el aire "aumentaría" a nuestra velocidad de rotación desde un punto de vista en el espacio viendo todo suceder). Incluso el aire en las alturas eventualmente rotaría con la Tierra porque, aunque no puede chocar con montañas o edificios y detenerse de soplar, puede essentially "chocar" con el aire debajo de él debido a la fricción en el aire.