Sólo me gustaría una rápida comprobación de cordura. Si tengo una matriz $ M $ , entonces la serie $ 1 + M + M^2 + M^3 \cdots $ converge a $ (1-M)^{-1} $ si la norma del operador $ \lVert M \rVert_{\mathrm{op}} < 1$ . ¿Es suficiente demostrar que cada vector columna $ v $ de $ M $ tiene norma $ \lVert v\rVert_{L^2} < 1 $ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considere $M = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$ (esto es la proyección a la diagonal). Cada columna tiene una norma menor que $1$ pero $1-M$ es una proyección propia (por tanto, no es invertible).
Añadido: Vamos a trabajar sobre $\mathbb{R}$ . Dar $\mathbb{R}^n$ la norma 1 y luego $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})$ la norma del operador correspondiente (esto es equivalente a la norma del operador en $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})$ procedente de la 2-norma en $\mathbb{R}^n$ ya que todas las normas en espacios vectoriales de dimensión finita son equivalentes, por lo que las cuestiones de convergencia no se ven afectadas).
Hay una bonita característica de esta norma en $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})$ . Sea $M = [m_1 \vert m_2 \vert \ldots \vert m_n] \in \mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R})$ y poner $C = \max(\|m_1\|_1,\ldots,\|m_n\|_1)$ . Sea $x = (x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^n$ sea un vector unitario para la norma 1. Entonces $$\| M x\|_1 = \|x_1 m_1 + \ldots x_n m_n\|_1 \leq |x_1| C + \ldots |x_n| C = C$$ para que $\|M\| \leq C$ . Por lo tanto, si $C <1$ entonces $1-M$ es invertible y la serie deseada da la inversa.
