Evaluar

Question

Cómo evaluar

$$ \int \frac{\sin^{-1} \sqrt{x} -\cos^{-1} \sqrt{x}}{\sin^{-1} \sqrt{x} +\cos^{-1} \sqrt{x}} dx $$

Sé que $\sin^{-1} \sqrt{x} +\cos^{-1} \sqrt{x}=\frac{\pi}{2}$, pero después de eso no tengo ni idea, así que por favor me ayude. Gracias de antemano.

He intentado de esta manera,

$$ \int \frac{\sin^{-1} \sqrt{x} -\cos^{-1} \sqrt{x}}{\frac{\pi}{2}}dx $$ luego me puse el valor de$\sin^{-1} \sqrt{x} +\cos^{-1} \sqrt{x}=\frac{\pi}{2}$, por lo que $$ \frac{2}{\pi}\int\left(\sin^{-1} \sqrt{x} -\left(\frac{\pi}{2}-\sin^{-1} \sqrt{x}\right)\right)dx $$ Esto es correcto?

después de que me integrar por parte y obtener,

$$ \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$$ ahora, ¿qué puedo hacer?

Answer 1

Deje$$ I_0=\int \frac{\sin^{-1} \sqrt{x} -\cos^{-1} \sqrt{x}}{\sin^{-1} \sqrt{x} +\cos^{-1} \sqrt{x}} dx $$$$ \ Rightarrow I_0 = \ int \ frac {\ frac {\ pi} {2} -2 \ cos ^ {- 1} \ sqrt {x}} {\ frac {\ pi } {2}} dx$$$ $\Rightarrow I_0=\int (1-\frac{4}{\pi}\cos^{-1}\sqrt{x})dx$ $ $ $\Rightarrow I_0=x-\frac{4}{\pi}\int\cos^{-1}\sqrt{x})dx$ $ Now Consider $ $I_1= \int\cos^{-1}\sqrt{x}dx$ $ $ $\Rightarrow I_1=\int 2z\cos^{-1} zdz$ $ Where $ps

Answer 2

• Usando la relación$\arcsin(\sqrt{x}) + \arccos(\sqrt{x}) = \frac{\pi}{2}$ (que es válida para$0 \leqslant x \leqslant 1$, por lo que este debe una suposición implícita en su problema) para resolver$\arccos(\sqrt{x})$ y el sustituto que en el integrando.
• Después de eso hacer un$u$ - sustitución$u = \arcsin(\sqrt{x})$. Esto debería conducir a$\int \left( \frac{4 u}{\pi} - 1\right) \sin(2u) \mathrm{d} u$. Esto se puede integrar por partes.

Answer 3

Teniendo en cuenta lo que sabe, debe ser capaz de obtener la respuesta si se puede conseguir$$\int\arcsin\sqrt x\,dx$$ and you can get that starting with the substitution $ u = \ arc sen \ sqrt x$ ($ \ sen u = \ sqrt x$, $ x = \ sin ^ 2u$, $ dx = 2 \ sen \ cos u $, etc.)