Demostrar que$\mathbb{R}^2$ no es homeomorfo a$\mathbb{R}^2 \setminus\{(0,0)\}$

Question

Demostrar que$\mathbb{R}^2$ no es homeomorfo a$\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} $.

Answer 1

Aquí está una manera ligeramente diferente de ver las cosas que evita grupos fundamentales (aunque tiene sus propios detalles desordenados para comprobarlo). Uno de los espacios, al retirar un conjunto compacto, se puede separar en dos componentes conectados con el cierre no compacta. El otro no puede.

Answer 2

Permítanme dar una solución al problema que utiliza la idea de homotopy de bucles, pero evita que el grupo fundamental o de la co/grupos de homología. (Esto es en realidad una desarrollarse de Cristiano Blatter comentario de Matt respuesta. FWIW pensé que de esta forma independiente de un par de horas atrás, pero tenía que correr al proctor un examen para alguien de clase).

Decimos que dos bucles $\gamma_0, \gamma_1: S^1 \rightarrow X$ son homotópica si existe una función continua $G: S^1 \times [0,1] \rightarrow X$ tal que para todo $x \in S^1$, $G(x,0) = \gamma_0(x)$ y $G(x,1) = \gamma_1(x)$. (Nota: yo no soy la fijación de un punto de base aquí: no importa de cualquier manera por lo que estoy a punto de decir.)

Decimos que un espacio topológico $X$ es simplemente conectado si está conectado y cada bucle en $X$ es homotópica a una constante bucle. Está claro que si $X$ simplemente se conecta y $Y$ es, $X$ no puede ser homeomórficos a $Y$.

Yo reclamo que $\mathbb{R}^2$ simplemente se conecta y $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ no lo es.

Paso 1: Nos muestran directamente de la definición de que la $\mathbb{R}^2$ es simplemente conectado.
De hecho, si $\gamma: S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ es cualquier bucle, a continuación el mapa $G: S^1 \times [0,1]$, $G(x,t) = (1-t)\gamma(x)$ es un homotopy de $\gamma$ a la constante bucle basado en $0$.

Paso 2: Nos muestran que $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ no está simplemente conectado. Para ello podemos aprovechar el hecho de que $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ es un subconjunto abierto del plano complejo y el uso de análisis complejo, específicamente:

Teorema (Homotopy Forma de Cauchy de la Integral Teorema): Vamos a $\Omega$ ser un subconjunto de el plano complejo, vamos a $f$ ser un holomorphic de la función en $\Omega$ y deje $\gamma_1,\gamma_2$ dos homotópica rutas en $\Omega$. A continuación,$\int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_{\gamma_2} f(z) dz$.

Este es un resultado no trivial, pero se trata de una variante de la costumbre de Cauchy de la Integral de la Fórmula que se encuentra en la mayoría de los básicos de análisis complejo de los textos. En particular, si $\Omega$ simplemente se conecta, entonces cada bucle de $\gamma: S^1 \rightarrow \Omega$ es homotópica a una constante bucle y por tanto, para cada holomorphic función de $f$ $\Omega$ tenemos $\int_{\gamma} f(z)dz = 0$. Esto se aplica en particular a $\Omega = \mathbb{C}$ por el Paso 1.

El final del juego es probablemente familiar: en $\mathbb{C} \setminus \{0\}$, en el caso de integrar el holomorphic función de $f(z) = \frac{1}{z}$ sobre el camino de $\gamma(t) = e^{2 \pi i t}$, entonces usted consigue $2 \pi i$, que no es cero. Por lo tanto $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ no está simplemente conectado y por lo tanto no homeomórficos a $\mathbb{C}$.

Answer 3

$\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\cong S^1\times\mathbb{R}$. puede utilizar co / homología o grupos fundamentales (si eso es en su caja de herramientas). se puede observar que uno es contráctil y el otro es homotopy equivalente a un círculo (y decirle a los que aparte). se puede observar que uno tiene característica de Euler 0 y el otro tiene característica de Euler 1 (si esto es algo que se puede calcular).

Answer 4

conceptualmente es porque su cartografía de un espacio continuo a uno con un agujero en él. usted no puede tener una aplicación continua de$\mathbb{R}^2$ a$\mathbb{R}^2\setminus (0,0)$ ya que para ello habría que abrir un agujero en él.