Cómo calcular todas las soluciones a cuatro$(p+5)(p-1) \equiv 0 \pmod {16}$?

Question

Se trata de un tipo de una pregunta sencilla, pero simplemente no puede conseguir algo.

Para la congruencia y un número primo$p$:$(p+5)(p-1) \equiv 0\pmod {16}$.

¿Cómo es que el que además de las soluciones $$ \begin{align*} p &\equiv 11\pmod{16}\\ p &\equiv 1\pmod {16} \end {align *} $$ también tenemos $$ \begin{align*} p &\equiv 9\pmod {16}\\ p &\equiv 3\pmod {16}\ ? \end {align *} $$

¿De dónde los dos últimos vienen de? Siempre es 4 soluciones? Puedo ver que debe satisfacer la ecuación, pero ¿cómo puedo calcular?

Gracias

Answer 1

La afirmación$(p+5)(p-1) \equiv 0 \pmod{16}$ es equivalente a$16 \mid (p+5)(p-1)$. A continuación, se tiene en cuenta casos:$2^4 \mid (p+5)$,$2^3 \mid (p+5)$ #% y%% #,$2 \mid p-1$ y$2^2 \mid p+5$, etc.

Answer 2

$$(p+5)(p-1) \equiv 0 \text{ (mod 16)} $ $$$\Leftrightarrow (p+5)(p-1)=16k $ $$$\Leftrightarrow p^{2}+4p+(-5-16k)=0$ $$$\Rightarrow p=-2 \pm\frac{1}{2}\sqrt{36+64k}$ $$$\Rightarrow p=-2 \pm \sqrt{9+16k}$ $

$$k=0: p=-2\pm 3 \Rightarrow p \in \{1,-5\} \equiv \{1,11\} \text{ (mod 16)}$ $$$k=1: p=-2 \pm 5 \Rightarrow p \in \{3,-7\} \equiv \{3,9\} \text{ (mod 16)}$ $

No hay otros valores de$k$ producirán soluciones enteras únicas para$p \text{ (mod 16)}$. Para ver esto, observamos que con el fin de$p$ a ser un número entero, necesitamos$9+16k=q^{2}$ para algunos$q$. Pero mod 16, esto se reduce a$q^{2} \equiv 9 \text{ (mod 16)}$. Ahora una comprobación rápida muestra que$q=3$ y$q=5$ son las únicas soluciones. Estos corresponden a$k=0$ y$k=1$, lo que dió los únicos 4 valores posibles:$p \in \{1,3,9,11\}$.

Answer 3

Los dos primeros solución se puede ver a simple vista, es decir, usted tiene$p=-5,1=11,17 \pmod{16}$. Para encontrar la solución dos siguientes, tal como la conocemos$p$ debe satisfacer$(p+5)(p-1)=16$, entonces la solución de esta ecuación cuadrática como$p=3,-7 =3,9\pmod {16}$

Answer 4

Consejo: Se puede utilizar la existencia y unicidad de la descomposición de todos los no cero enteros$N$ como$N=2^m q$ donde$m$ es un número entero y$q$ un entero impar. Nosotros escribimos :

$p+5=2^k u $ Y$p-1 = 2^l v $ donde$u$ y$v$ son impares, que implica$u2^k-5 = v 2^l +1$ implica$u2^k-v 2^l = 6$, entonces te p deducir que$\inf(k,l) \leq 1$