La comprensión de la norma$L^\infty$

Question

Estoy muy confundido acerca de$L^\infty$. Así que estoy tratando de probar esto:

Es$\|f\|_{\infty}$ el más pequeño de todos los números de la forma$\sup\{|g(x)| \,:\,x \in X\}$, donde$f=g $ $\mu$ - AE?

Answer 1

La respuesta a tu pregunta es sí. Recordemos que la definición de $\|f\|_\infty$ es $$\|f\|_\infty=\operatorname{ess sup}(f)=\inf\{a\in\mathbb{R}\mid \mu(\{x\in X\mid |f(x)|>a\})=0\}.$$ Voy a interpretar la frase "el más pequeño de todos los números de la forma $\sup\{|g(x)|\,:\,x\in X\}$, donde $f=g$ $\mu$-una.e." para decir $$M=\inf_{g=f\text{ a.e.}}\left\{\sup_{x\in X}|g(x)|\right\}.$$

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Para cualquier $\epsilon>0$, podemos definir a la $g:X\to\mathbb{R}$ por $$g(x)=\begin{cases}f(x) & \text{if }|f(x)|\leq \|f\|_\infty+\epsilon,\\0 & \text{otherwise}.\end{cases}$$ Tenga en cuenta que $$\mu(\{x\in X\mid f(x)\neq g(x)\})=\mu(\{x\in X\mid |f(x)|>\|f\|_\infty+\epsilon\})=0$$ por la definición de $\|f\|_\infty$, por lo que el $f=g$ en casi todas partes, y que $\sup_{x\in X}|g(x)|\leq \|f\|_\infty+\epsilon$.

Por lo tanto, $$M=\inf_{g=f\text{ a.e.}}\left\{\sup_{x\in X}|g(x)|\right\}\leq \|f\|_\infty+\epsilon$$ para todos los $\epsilon>0$, y por lo tanto $M\leq \|f\|_\infty$.

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En el otro sentido, tenga en cuenta que para cualquier $\epsilon>0$, $$\mu(\{x\in X\mid |f(x)|>(\|f\|_\infty-\epsilon)\})>0$$ by the definition of $\|f\|_\infty$. If $g=f$ a.e., then certainly $|g|=|f|$ a.e., so we must have that $$\mu(\{x\in X\mid |g(x)|>(\|f\|_\infty-\epsilon)\})>0$$ too, so that $g(x)>\|f\|_\infty-\epsilon$ for some $x\in X$. Thus, for any $g$ such that $g=f$ a.e., we have that $$\sup_{x\in X}|g(x)|\geq \|f\|_\infty-\epsilon$$ así que $$M=\inf_{g=f\text{ a.e.}}\left\{\sup_{x\in X}|g(x)|\right\}\geq \|f\|_\infty-\epsilon$$ para todos los $\epsilon>0$, y por lo tanto $M\geq \|f\|_\infty$.

Esto demuestra que $M=\|f\|_\infty$.