propiedad de convergencia del operador positivo en$L^\infty$

Question

Dado un $\sigma$-aditivo para medir el espacio $(S,\Sigma,\mu)$ y un operador lineal $$ U: L^\infty \to L^\infty $$ where $L^\infty$ es el espacio de esencialmente limitado funciones medibles.

Suponga que se sabe que el operador cumple las tres propiedades siguientes

1. $ f\geq 0 \Rightarrow Uf \geq 0$,
2. $UI = I$ donde $I(x)=1$ todos los $x \in S$,
3. $ ||U||\leq 1$,

donde $|| \cdot ||$ es el operador de la norma inducida por $L^\infty$.

Me gustaría saber si esto implica la siguiente propiedad:

Dada una familia de conjuntos disjuntos $(A_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \Sigma$ y definen $B = \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i$$B_n = \bigcup_{i =1}^n A_i$, lo hace, a continuación, la secuencia convergen $$ U 1_{B_n} \to U 1_B$$ pointwise $\mu$-casi seguramente?

Sé que la secuencia de $( U 1_{B_n})_{n\in \mathbb{N}}$ converge $\mu$-casi seguramente, porque a partir de la condición de $1.$ es claro que la sucesión es monótona creciente, y es claro que la sucesión está acotada $\mu$-casi seguramente, sin embargo no estoy seguro de si converge hacia a $1_B$. Me pregunto si la linealidad y la condición de $2.$ $3.$ implica esto.

¿Alguien sabe?

Answer 1

De esto no se sigue que $U 1_{B_n} \to U 1_B$ pointwise $\mu$-casi en todas partes. Considere la posibilidad de $S = \mathbb{N},\Sigma = \mathcal{P}(\mathbb{N})$ $\mu$ el conteo de medida (o cualquier medida dada por el positivo masas, en cada punto, por lo $\mu$ incluso podría ser una medida de probabilidad).

Deje $\mathscr{U}$ libre de ultrafilter en $\mathbb{N}$ y definen $\lambda_{\mathscr{U}} \colon L^\infty(S,\Sigma,\mu) \to \mathbb{C}$ por

$$\lambda_{\mathscr{U}}(f) = \lim_{\mathscr{U}} f(n)$$

y $U(f) := \lambda_{\mathscr{U}}(f)\cdot I$. A continuación, $\lambda_{\mathscr{U}}$ es positivo lineal funcional con la norma $1$$\lambda_{\mathscr{U}}(I) = 1$, lo $U$ satisface las condiciones.

Pero con $A_i = \{i\}$ hemos

$$U(1_{B_n}) = 0$$

para todos los $n\in \mathbb{N}$. Construcciones similares se pueden hacer en muchos medir los espacios.